前言
作为一个对线性代数一无所知的开发者，想快速对向量和矩阵进行一个了解和认识，那么本文就正好适合你。
本文将站在开发者的角度的讲解向量和矩阵，并用TypeScript将其实现，欢迎各位感兴趣的开发者阅读本文。
向量
向量是线性代数研究的基本元素，将一组数放在一起其基本的表示方法就是向量，例如：一个数: 100，一组数：(25,78,101)。其中一组数就可以称为向量，示例中的这组数是一个三维向量。
下述公式，描述了一个向量。
那么，一组数有什么用？
我们通过一个例子来说明，如下表所示：
| 序号 | 语文 | 数学 | 英语 |
| 0 | 70 | 80 | 90 |
上述表格中，(0,70,80,90) 这组数分别描述了序号、语文、数学、英语，如果将这组数中数字的顺序调换顺序，那么其所表达的意思也就完全不同了，每个数字都代表着空间中的一个点，是一组有序的数字，因此他可以用来描述一个有序的东西。
标量：向量中的数字就称为标量。
向量的更多概念
行向量与列向量
- 行向量：即横着排列的标量，如下所示
- 列向量：即竖着排列的标量，如下所示
维度
向量中标量的个数，就是这个向量的维度。
例如，向量(3,4)其维度就是2
实现向量
接下来我们根据上面所述，先来看看我们都需要为向量实现哪些方法。
- 获取向量的维度
- 向量的长度
- 获取向量的特定元素
- 输出向量
接下来，我们来一一实现这些方法。
- 创建一个TS文件，命名为：
Vector.ts，用于实现向量的所有方法 - 声明向量类，在构造函数中声明我们需要传的参数，向量就是一组数，因此我们用数组来表示向量
export class Vector { constructor(private list: number[] = []) {} }
- 实现获取向量维度函数：
getDimension
getDimension(): number { return this.list.length; }
- 实现向量的长度函数：
length
len = this.getDimension();
- 实现获取向量的特定元素：
getItem
/** * 获取向量的特定元素 * @param index 目标元素索引 */ getItem(index: number): number { return this.list[index]; }
- 实现输出向量函数
toStr(): string { let str = ``; for (let i = 0; i < this.list.length; i++) { if (i !== this.list.length - 1) { str += `${this.list[i]},`; } else { str += this.list[i]; } } return `Vector(${str})`; }
向量的基本运算
向量有两种基本运算：即向量加法和向量数量乘法
向量的加法
如上所示，描述了两个向量相加，它的计算规则如下：
- 相加的两个向量其维度必须相等
- 把向量中的分量(即向量中的每个数)分别想加，最终构成的向量就是其相加后的结果。
向量的数量乘法
用一个向量和一个标量进行乘法运算，就称之为向量的数量乘法。
如上所示，描述了向量和标量相乘，它的计算规则如下：
- 把向量中的分量与分别与标量相乘，最终构成的向量就是其相乘后的结果。
向量的点乘
两个向量相乘就称之为向量的点乘运算。
如上所示，描述了向量与向量相乘，它的计算规则如下：
- 相乘的两个向量，其维度必须相等
- 把两个向量的分量分别相乘，将其结果相加，最终得到的标量就是其相乘后的结果
实现向量的运算
上面我们讲解了向量的两个基本运算，接下来我们就可以根据这两个基本运算推导出更多的结论，我们将要实现的函数如下。
- 向量的加法运算
- 向量的减法运算
- 向量的乘法运算
- 向量的除法运算
- 向量取正
- 向量取负
- 向量的点乘
我们将上述函数一一实现
- 实现加法运算：
add
/** * 向量的加法运算 * @param another 需要进行相加的向量 */ add(another: Vector): Vector | string { // 向量相加时，要确保其维度与当前维度相等 if (this.getDimension() === another.getDimension()) { const finalList: number[] = []; for (let i = 0; i < this.getDimension(); i++) { finalList.push(this.getItem(i) + another.getItem(i)); } return new Vector(finalList); } else { return "维度不相等，无法进行加法运算"; } }
- 实现减法运算
/** * 向量的减法运算 * @param another */ sub(another: Vector): Vector | string { // 与加法运算一样，维度必须相等 if (this.getDimension() === another.getDimension()) { const finalList: number[] = []; for (let i = 0; i < this.getDimension(); i++) { finalList.push(this.getItem(i) - another.getItem(i)); } return new Vector(finalList); } else { return "维度不相等，无法进行减法运算"; } }
- 实现数量乘法运算
/** * 向量的数量乘法运算 * @param K */ mul(K: number): Vector { const finalList: number[] = []; // 向量的乘法运算规则：用向量的每一个维度去和这个数相乘 for (let i = 0; i < this.getDimension(); i++) { finalList.push(this.getItem(i) * K); } return new Vector(finalList); }
- 实现数量除法运算
division(K: number): Vector { return this.mul(1 / K); }
- 实现向量取正和向量取负
// 向量取正，即将向量中分量变成正数 pos(): Vector { return this.mul(1); } // 向量取负，即将向量中分量变成负数 neg(): Vector { return this.mul(-1); }
- 实现向量的点乘
dotMul(another: Vector): number | void { if (another.getDimension() === this.getDimension()) { let final = 0; // 两个向量点乘的方法: 将每个向量中的元素互相进行乘法运算，将得到的结果相加 for (let i = 0; i < this.getDimension(); i++) { final += this.getItem(i) * another.getItem(i); } return final; } else { console.log("两个向量点乘时其维度必须相等"); } }
矩阵
矩阵就是对向量的扩展，将一组向量放在一起就可以构建成一个矩阵，我们可以从两个角度去看待一个矩阵：行向量和列向量。
如上所示，描述了一个3*4的矩阵，用数学公式表示为：A(m*n))，其中m表示其行数，n表示其列数。
在上述矩阵中，a11表示其在矩阵A的第1行第1列，a23表示其在矩阵A的第2行的第3列，因此我们通常会用aij来描述矩阵中的某个元素，i表示行，j表示列。
如果我们通过行向量的角度来看待这个矩阵的话，它就由3个向量组成。如果我们通过列向量的角度来看待这个矩阵的话，它就由4个向量组成。
实现矩阵
我们来看看实现一个矩阵都要实现哪些方法：根据上述矩阵的描述，我们可以使用二维数组来描述矩阵。
- 获取矩阵的形状，返回这个矩阵由几行几列组成
- 行数就是二维数组的长度
- 列数就是二维数组的中0号数组的长度
- 获取矩阵的行数，获取矩阵的列数。返回矩阵形状中求出的行数和列数即可
- 获取矩阵的大小，用矩阵的行数 * 矩阵的列数
- 矩阵的长度，返回矩阵的行数
- 获取矩阵的行向量，返回二维数组的指定位置的数组
- 获取矩阵的列向量
- 获取矩阵的中的特定元素
接下来，我们将上述方法一一实现。
- 创建Matrix.ts文件，用于实现矩阵。
- 创建Matrix类，声明构造函数需要传的参数
export class Matrix { constructor(private twoDimArray: number[][]) {} }
- 获取矩阵的形状：
shape
/** * 矩阵形状 * @returns [x,y] x行，y列 */ shape(): number[] { // 矩阵的长度就是矩阵的行数，矩阵中每个向量的维度就是其列数都相等，所以取其第0号元素的作为列数 return [this.twoDimArray.length, this.twoDimArray[0].length]; }
- 获取矩阵行数
getRowNum和列数getColNum
// 获取矩阵行数 getRowNum(): number { return this.shape()[0]; } // 获取矩阵列数 getColNum(): number { return this.shape()[1]; }
- 获取矩阵大小和长度：
size
size(): number { const shape = this.shape(); return shape[0] * shape[1]; } // 矩阵的长度，即：获取矩阵行数 len = this.getRowNum();
- 获取矩阵的行向量：
rowVector
rowVector(index: number): Vector { return new Vector(this.twoDimArray[index]); }
- 获取矩阵的列向量：
colVector
colVector(index: number): Vector { // 存放指定列的元素 const finalList: number[] = []; for (let i = 0; i < this.getRowNum(); i++) { // 取出矩阵的每一行 const row = this.twoDimArray[i]; // 取出每一行中的指定列，将其存起来 finalList.push(row[index]); } // 返回向量 return new Vector(finalList); }
- 获取矩阵中的元素：
getItem
getItem(position: number[]): number { return this.twoDimArray[position[0]][position[1]]; }
矩阵的基本运算
矩阵的运算可分为：矩阵与矩阵相加、矩阵与标量相乘、矩阵与向量相乘、矩阵与矩阵相乘。
矩阵的加法运算
矩阵与矩阵相加就称为矩阵的加法运算。
上述公式描述了矩阵加法的运算过程，其运算方法如下：
- 两个矩阵相加其大小必须相等
- 取出两个矩阵中的元素，将其相加构建成新的矩阵就是矩阵相加的结果。
矩阵数量乘法
矩阵与标量之间的乘法运算就称为矩阵数量乘法。
上述公式描述了矩阵与标量相乘的运算过程，其运算方法如下：
- 将矩阵中的每个元素和标量相乘，其结果构建成一个新的矩阵就是矩阵数量乘法的结果。
矩阵与向量相乘
上述公式描述了矩阵与向量相乘的运算过程，其运算方法如下：
- 矩阵与向量相乘时，矩阵的列数必须与向量的长度相等
- 获取矩阵的行向量，将矩阵的每个行向量与向量进行点乘运算
矩阵与矩阵相乘
上述公式描述了矩阵与矩阵相乘的运算过程，其运算方法如下：
- 矩阵与矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数
- 将第一个矩阵拆分为一个个的行向量，将第二个矩阵拆分为一个个的列向量
- 用拆分出来的行向量，与拆分出来的每个列向量进行点乘运算，将返回的向量放在一起，构建成出的新的矩阵就是其相乘得到的结果。
实现矩阵的基本运算
接下来，我们用代码将上述运算一一实现。
- 实现矩阵的加法运算
add和减法运算sub
/** * 加法运算 * @param another 另一个矩阵 * @return Matrix 新的矩阵 */ add(another: Matrix): Matrix | void { // 两个矩阵相加，其大小必须相等 if (this.size() === another.size()) { const finalList: number[][] = []; // 将矩阵的每个元素相加，构成新的矩阵 for (let i = 0; i < this.getRowNum(); i++) { const row: number[] = []; for (let j = 0; j < this.getColNum(); j++) { // 相加每个元素 row.push(this.getItem([i, j]) + another.getItem([i, j])); } // 构建新的矩阵 finalList.push(row); } return new Matrix(finalList); } else { console.log("矩阵相加，其大小必须相等"); } } /** * 减法运算 * @param another 另一个矩阵 * @return Matrix 新的矩阵 */ sub(another: Matrix): Matrix | void { // 两个矩阵相加，其大小必须相等 if (this.size() === another.size()) { const finalList: number[][] = []; // 将矩阵的每个元素相加，构成新的矩阵 for (let i = 0; i < this.getRowNum(); i++) { const row: number[] = []; for (let j = 0; j < this.getColNum(); j++) { // 相加每个元素 row.push(this.getItem([i, j]) - another.getItem([i, j])); } // 构建新的矩阵 finalList.push(row); } return new Matrix(finalList); } else { console.log("矩阵相减，其大小必须相等"); } }
- 实现矩阵数量的乘法运算
mul和除法运算division
/** * 矩阵数量乘法 * @param K 目标值 * @return Matrix 新的矩阵 */ mul(K: number): Matrix { const finalList: number[][] = []; // 运算规则: 用矩阵中每个向量的元素去乘以目标数量，返回新的矩阵 for (let i = 0; i < this.getRowNum(); i++) { const row: number[] = []; for (let j = 0; j < this.getColNum(); j++) { row.push(this.getItem([i, j]) * K); } finalList.push(row); } // 构建新的矩阵并返回 return new Matrix(finalList); } /** * 矩阵数量除法 * @param K 目标值 * @return Matrix 新的矩阵 */ division(K: number): Matrix { return this.mul(1 / K); }
- 实现矩阵与向量相乘：
mulVector
/** * 矩阵与向量相乘 * @param vector 进行乘法运算的的向量 * @return Vector 生成的新向量 */ mulVector(vector: Vector): Vector | void { // 矩阵与向量相乘时其列数必须等于向量的长度 if (vector.len === this.getColNum()) { // 结果数组 const finalList: number[] = []; // 计算规则: // 1. 用矩阵的每一项的与向量的每一项做乘法运算 // 2. 将得到的结果累加 // 3. 将累加的结果放进结果数组中 // 4. 根据结果数组构建新的向量 for (let i = 0; i < this.getRowNum(); i++) { // 当前矩阵的行向量与向量进行点运算 finalList.push(<number>this.rowVector(i).dotMul(vector)); } // 遍历结束，根据结果生成向量，并将其返回 return new Vector(finalList); } else { console.log("矩阵与向量相乘时，矩阵的列数必须与向量的长度相等"); } }
- 实现矩阵与矩阵相乘
/** * 矩阵与矩阵相乘 * @param matrix */ mulMatrix(matrix: Matrix): Matrix | void { // 矩阵A的列数必须和矩阵P的行数相等 if (this.getColNum() === matrix.getRowNum()) { // 存放最终结果的二维数组 const finalList = []; // 拆分两个矩阵，将其拆分成向量与向量之间的点乘 for (let i = 0; i < this.getRowNum(); i++) { // 存放结果行向量的数组 const resultList: number[] = []; // 获取矩阵A的行向量 const rowVector = this.rowVector(i); for (let j = 0; j < matrix.getColNum(); j++) { // 获取矩阵P的列向量 const colVector = matrix.colVector(j); // 将行向量与列向量进行点乘，将结果放进结果行向量数组中 resultList.push(<number>rowVector.dotMul(colVector)); } // 将构建好的结果行向量放进最终结果的二维数组 finalList.push(resultList); } // 根据最终结果的二维数组构建矩阵 return new Matrix(finalList); } else { console.log("矩阵与矩阵相乘，其中一个矩阵的列数必须与另一个矩阵的行数相等"); } }
代码地址
本文用到的代码完整地址以及测试代码请移步GitHub仓库：
向量：Vector.ts & vectorTest.js
矩阵：Matrix.ts & MatrixTest.ts
