4. 不同路径（LeetCode-62）
题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7 输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3 输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3 输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109
思路
五部曲继续
dp[m][n] 含义：到达m行n列有 dp[m][n] 条路径
机器人每次只能向下或向右移动，所以该点路径条数只与它上面和左边的点有关，是它们路径条数之和
d p [ m ] [ n ] = d p [ m − 1 ] [ n ] + d p [ m ] [ n − 1 ]
初始化时，最左边一列和最上面一行的值肯定为1
要先有 − 1 -1−1 才能有你，肯定正序
略
代码展示
class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n)); for (int i = 0; i < m; i++) { dp[i][0] = 1; } for (int i = 0; i < n; i++) { dp[0][i] = 1; } for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; } } return dp[m - 1][n - 1]; } };
可以滚动数组优化，可以看出，我们计算是以行为单位一行一行计算的，其实该点值只和它上一行有关，所以创建一个长度为网格列数的数组
d p [ j ] = d p [ j ] + d p [ j − 1 ]
dp[j-1] 最初是欲计算点上左侧的值，被计算后，数值的含义下移，变成欲计算点左侧的值。同理 dp[j] 在计算之前代表欲计算点上侧的值
class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { vector<int> dp(n); for (int i = 0; i < n; i++) { dp[i] = 1; } for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) { dp[j] = dp[j] + dp[j - 1]; } } return dp[n - 1]; } };
