《机器人与数字人：基于MATLAB的建模与控制》——2.6节习题

本节书摘来自华章社区《机器人与数字人：基于MATLAB的建模与控制》一书中的第2章，第2.6节习题，作者［美］顾友谅（Edward Y.L.Gu），更多章节内容可以访问云栖社区“华章社区”公众号查看

习题
1给定三维向量a、b和c且a≠0。
a如果a·b=a·c，能否推出b=c?
b如果a×b=a×c，能否推出b=c?
c如果a·b=a·c，且a×b=a×c，能否推出b=c?
如果以上情况的答案都是否定的，请给出反例。
2如果一个力向量f及其大小为‖f‖=6N，作用在绕原点O旋转的刚体上的P点，其径向向量定义为r=OP，那么扭矩τ=r×f。采用这种定义，求如图22中所示的θ=20°和θ=-20°时的扭矩，其中刚体为等边三角形。
3给定三维空间的两条直线。直线1沿着向量v1=(1 1 1)T的方向且通过点A={0,0,2}。直线2沿着向量v2=(2 0 -1)T的方向且通过点B={1, 0, 0}。
44
a求出两条直线的公共法向量；
b求出两个三维直线之间的最短距离。
4在三维空间里有三个向量a=(1 0 0)T、b=(1 3 3)T和c=(2 2 6)T。
a确定这三个向量组成的平行六面体的体积；
b计算向量c的顶点到向量a和b组成的平面的距离h。
5给定和习题4中相同的三个向量a、b和c。
a求出这三个向量的斜对称矩阵S(·)；
b ［S(a),S(b)］ c等于什么？
c［［S(a),S(b)］, S(c)］的结果是什么？
6如果a是一个单位向量，即aTa=‖a‖=1，且b是任意三维向量，表明
a×(a×(a×b))=b×a
如果a不是单位向量，以上方程将有什么变化？
7令v1=(2 0 1)T，并且v2= (0 1 2)T。找出旋转矩阵R，使得v2 = Rv1。
8三维空间中一个平面定义为x-y+2z=0，并且给定一个三维向量v=(2 1 0)T。
a确定向量v在平面上的正交投影vp；
b求出一个旋转矩阵R使得投影=R，其中，p=vp/‖vp‖以及=v/‖v‖分别是vp和v的单位向量。
9给定两个旋转矩阵

R1=－03329－0667506661
01343－07327－06671
09334－0132603336
和
R2=－04286－0.28570.8571
-0.2857－0.8571－0.4286
0.8571－0.42860.2857

求出这两种情况下的转角和单位向量k。
10在k过程中，证明：
45
a K2+I=kkT, 其中S(k)=k×=K，并且I是3×3单位矩阵；
bK2=11－cosR+RT2－I;
c如果单元轴线k被认为是时变的且是K的时间导数，那么
KK=O
式中，O是3×3零矩阵。
11一个对偶方阵A∧，它的对偶特征值λ∧和对偶特征向量x∧满足A∧x∧=λ∧x∧。如果
A∧=3－21+
－1+32+
求出它的两个对偶特征值。

12对于两个对偶矩阵：

A∧=05403－16830008415+10806
010000+020000
－08415－10806005403－16830
和
B∧=05403－16830008415+10806
0100000
－08415－10806005403－16830

哪一个是特殊正交对偶矩阵∈SO(3,d)?并求出其位置向量p。

13令一个三角函数定义为
f(x)=8sin2x3cosx+5sin3x
假如某一瞬时x=15以及=-12。

a采用对偶数微积分，求出函数的瞬时时间导数(x)；

b同时确定df(x)/dx的取值。

14假如一个二维坐标系从{x,y}到{ξ,η}的变换为

ξ=x2+y2

η=3xe－y

采用外微积分，确定dξdη和dxdy之间的微分变换。

15判定以下第一类微分形式是否是恰当的。如果是恰当的，找出标量函数μ(·)，使得σ=dμ。

a σ=ydx+xdy

46
b σ=y2dx+x2dy

cσ=(3x2+3yz+2y2)dx+(3xz+4xy+z2)dy+(3xy+2yz+3z2)dz