本节书摘来自华章出版社《数据库原理与应用（第3版）》一 书中的第3章，第3.3节，作者：何玉洁，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。
3.3 关系模型的形式化定义
在关系模型中，无论是实体还是实体之间的联系均由单一的结构类型来表示——关系。关系模型是建立在集合代数的基础上的，本节我们将从集合论的角度给出关系数据结构的形式化定义。
3.3.1 形式化定义
为了给出关系的形式化的定义，首先定义笛卡儿积。
设D1，D2，…，Dn为任意集合，定义笛卡儿积D1，D2，…，Dn为：
D1×D2×…×Dn = {(d1，d2，…，dn) | di ∈Di，i = 1，2，…，n }
其中每一个元素（d1，d2，…，dn）称为一个n元组（n-tuple），简称元组。元组中每一个di称为一个分量。
D1={计算机系，信息系}
D2={李勇，刘晨，吴宾}
D3={男，女}
则D1×D2×D3笛卡儿积为：
D1×D2×D3={（计算机系，李勇，男），（计算机系，李勇，女），
（计算机系，刘晨，男），（计算机系，刘晨，女），
（计算机系，吴宾，男），（计算机系，吴宾，女），
（信息系，李勇，男），（信息系，李勇，女），
（信息系，刘晨，男），（信息系，刘晨，女），
（信息系，吴宾，男），（信息系，吴宾，女）}其中（计算机系，李勇，男）、（计算机系，刘晨，男）等都是元组。“计算机系”、“李勇”、“男”等都是分量。
笛卡儿积实际上就是一个二维表，上述笛卡儿积的运算如图3-2所示。
图3-2中，笛卡儿积的任意一行数据就是一个元组，它的第一个分量来自D1，第二个分量来自D2，第三个分量来自D3。笛卡儿积就是所有这样的元组的集合。
根据笛卡儿积的定义可以给出一个关系的形式化定义：笛卡儿积D1，D2，…，Dn的任意一个子集称为D1，D2，…，Dn上的一个n元关系。
形式化的关系定义同样可以把关系看作二维表，给表的每个列取一个名字，称为属性。n元关系有n个属性，一个关系中的属性的名字必须是唯一的。属性Di的取值范围（i = 1，2，…，n）称为该属性的值域（domain）。
比如上述的例子，取子集：
R = {（计算机系，李勇，男），（计算机系，刘晨，男），（信息系，吴宾，女）}
就构成了一个关系。二维表的形式如表3-3所示，把第一个属性命名为“所在系”，第二个属性命名为“姓名”，第三个属性命名为“性别”。
从集合论的观点也可以将关系定义为：关系是一个有K个属性的元组的集合。
3.3.2 对关系的限定
关系可以看作二维表，但并不是所有的二维表都是关系。关系数据库对关系是有一些限定的，归纳起来有如下几个方面。
1）关系中的每个分量都必须是不可再分的最小数据项。即每个属性都不能再被分解为更小的属性，这是关系数据库对关系的最基本的限定。例如表3-4就不满足这个限定，因为在这个表中，“高级职称人数”不是最小的数据项，它是由两个最小数据项（“教授人数”和“副教授人数”）组成的一个复合数据项。对于这种情况只需要将“高级职称人数”数据项分解为“教授人数”和“副教授人数”两个数据项即可，如表3-5所示。
2）表中列的数据类型是固定的，即每个列中的分量是同类项的数据，来自相同的值域。
3）不同的列的数据可以取自相同的值域，每个列称为一个属性，每个属性有不同的属性名。
（4）关系表中列的顺序不重要，即列的次序可以任意交换，不影响其表达的语义。比如将图3-5中的“教授人数”列和“副教授人数”列交换并不影响这个表所表达的语义。
5）行的顺序也不重要，交换行数据的顺序不影响关系的内容。其实在关系数据库中并没有第一行、第二行等这样的概念，而且数据的存储顺序也与数据的输入顺序无关，数据的输入顺序不影响对数据库数据的操作过程，也不影响其操作效率。
6）同一个关系中元组不能重复，即在一个关系中任意两个元组的值不能完全相同。
