向量、矩阵概念｜学习笔记

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向量、矩阵概念

内容介绍：

一、向量概念介绍

矩阵概念介绍

重温大学数学的基础内容，对于技术人员以及数据挖掘的同学是非常有必要去了解的。目的是对一些数学上的基础概念比如向量、矩阵、导数、梯度做系统性的回顾。

一、向量概念介绍

1、向量的概念

想一想：位移和距离这两个量有什么不同？

位移:既有大小又有方向（向量）

距离:只有大小没有方向（数量）

数量:质量、身高、面积、体积...

向量:重力、速度、加速度...

2、图片中有两个线段，一个是 OA，一个是 AB，明显的区别是 AB 有方向，是一个有向线段，OA 是距离，AB 是位移。OA 1500米，另一个线段 AB 2千米,不同的是 AB 有方向、有向线段，所以 AB 表示的是位移，OA 表示的是距离。位移是既有大小又有方向的量，距离是只有大小没有方向的量，所以它是一个数量，生活中常见的数量包括质量、身高、面积、体积。常见的一些向量是重力、速度、加速度物理中常见到的量以及其他的一些量。

3、向量的表示方法

几何表示方法：常用有向线段表示，长度表示向量的大小（模），箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示方法有两种，一种是几何表示法，还有一种是字母表示法。几何表示法常用有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，通常叫做向量的模，箭头所指的方向表示向量的方向。

字母表示法通常在书面上写公式的时候使用到的方法，分为两种一种是用一个小写的字母去直接代表线段，然后在字母上方加一个箭头，表示向量；另一种方法是用两个大写字母前面的字母表示，前面字母表示有向线段的起点，后面表示有向线段的终点，上方再加一个箭头表示线段。

3、有向线段与向量的区别

向量:可选任意点作为向量的起点，有方向，有大小

有向线段:有固定起点、大小、方向

注:用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置

图片上显示有向线段可以表示向量。有向线段与向量有明显的区别，有向线段有固定起点大小以及方向，向量是可选任意一点作为起点，只要方向和大小是一致的向量就是相等的。

4、两个特殊向量

零向量:长度为0的向量，记作，零向量是不确定方向的单位向量:长度等于一个单位长度的量。

平行(共线)向量:方向相同或相反的非零向量

相等向量:长度相等且方向相同的向量

两个特殊的向量一个是零向量，零向量代表长度为零的向量，记做零上面加一个箭头，零向量最大的特点是方向不确定，方向是无穷的。

单位向量是另一个特殊向量，长度等于一个单位，单位长度并不表示是一，单位可以在不同的场景中进行不同的定义。

平行向量也可以称作共线向量，只要两个或多个向量方向是相同或相反，而且长度不是零，向量可以看作是平行向量。

比如图片向量都是平行向量的一个例子，有概念是如何判断向量相等，因为向量是一个有方向的量，所以在长度相等的同时必须方向也是相同的现象才能认为是相等的，所以从平行和相等两个概念出发可以推出来向量相等，一定能够推出来向量，平行的向量相等是向量平行的充分条件，但是从向量平行反推向量相等是不成立的。

5、向量

（1）向量加法

a+b 等于使 b 的起点与 a 的终点重合时，以 a 的起点为起点以 b 的终点为终点的向量。

向量的加法是两个向量相加，得到的和一定是从一个向量的起点到另一个向量的终点获得的新的向量，图片中比如 a 加 b 得到最终的结果向量可以看作矩形的对角线，其中有两个 a 和两个b，比如右侧的 a，左侧 a 向量的拷贝，右侧的 b 向量也是左侧 b 向量的拷贝是完全相同的，向量只要大小和方向都相同就认为是相等的量，所以两个向量相加，可以看做在平行四边形上得到了一个对角线。

（2）向量点乘

向量间的乘积，其结果是一个标量(纯数字:不带方向信息)。其定义为：

注:通过点积可以快速判断两向量指向的方向是不是相近。若点积大于 0，则相近;小于0，则相反。

向量点乘的结果是一个标量，一个纯数字不带方向信息的量，公式是 a 向量和 b 向量的点乘结果是 a 的模乘以 b 的模再乘以夹角余弦值，点乘的作用非常大，在平时向量中是一个非常常用的操作，通过编程的一个方向，是正值还是负值可以迅速判断出两个量指的方向是不是相近，相近 Cosθ 是一个大于零的值，如果相反 Cosθ 是小于零的值，从符号上可以判断出两个向量指向。

（3）向量的叉乘

（4）叉乘也是向量间的乘积，其结果仍然是一个向量。

（5）

（6）向量的叉乘跟点乘一样也表示向量的乘积，但是结果仍然是一个向量，而不是一个标量。从公式上来看，A 向量叉乘 B 向量的结果是 A 的模乘以 B 的模再乘以 sinθ ，截止到此结果都是一个标量，但是最后成了一个 N，N 是一个法向量，所以标量乘以向量最终的结果还是一个向量。

（7）法向量

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。

法向量的概念是 a 和 b 共同构成一个平面，垂直这个平面的一个向量可以认为是平面的一个法向量。因为是 a 叉乘 b 可以举起自己的右手，通过右手法则可以判断法向量的方向 a 叉乘 b ，四个手指从 a 转向 b 是逆时针的方向，大拇指指的方向是法向量的方向，通过右手法则可以得到最终叉乘结果向量的指向。

二、矩阵的概念

1、矩阵的定义

在线性代数中，矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块，是向量的数组。

2、矩阵的维度

定义某个矩阵包含的行数和列数，比如一个 m x n 矩阵有 m 行 n 列。

A_m×n

方阵:行数和列数均相同的矩阵。(m=n)

矩阵是有维度的，跟向量最大的不同是矩阵维度是由两个数字去决定，一个是矩阵包含的行数，另一个是矩阵包含的列数，比如图中表示的是维度为 m 乘 n 的矩阵，行数为 m 行列数为 n 列，如果 m 等于 n 矩阵的行数和列数相同，矩阵也可以叫方阵，矩阵跟线性变换的关系非常密切。

3、线性交换

线性变换:设 V 与 W 是数域 P 上的线性空间，A 是 V 到 W 的一个映射如果满足下面两个条件，则称 A 是 V 到 W 的一个线性映射:

当 W=V 时，A 称为线性空间 V 的一个线性变换。（线性映射前后是同一个空间）

线性变换是线性映射中一种特殊的方式。

σ 为线性空间 V 的线性变换，E₁、E₂、…、E_n 为数域 P 上线性空间 V 的一组基。基向量的象可以被基线性表出:

用矩阵形式表示即为：

通过线性变化可以引出跟矩阵的关系，先假设 σ 为线性空间 V 的线性变换，E1 到 n 是数据 P 上线性空间 V 的一组基，基是空间中有一组量都跟线性无关，不可能被其他的空间中的向量线性表示出来，比如桌面只要两个向量，平行于桌面的两个向量可以把桌面的平面确定下来，随后在桌面上增加其他更多的量，桌面并不发生任何改变，所以之前增加的两个向量可以作为桌面坐标系的一组基。

基向量的象可以被基线性表出，线性方程组是多元一次的线性方程组，基向量可以认为是因变量把等号左侧的 σ 变成一个 y ，右侧的 E 变成x，是一个多元一次的线性方程组，把线性方程组用矩阵形式表示会表示成右侧方式，所有的系数从 E₁ 到 E_n 系数整体表示为 a 矩阵，所以线性变换 E 是在从 1 到 N 下面的一个矩阵，矩阵的含义是一个线性变化，所以有两个概念非常重要：

矩阵就是映射。

矩阵是在向量空间中对运动的一个描述。

4、转置

一个 m x n 矩阵 M，M 的转置记作 M^T，是一个 n x m 矩阵，它的列由 M 的行组成

转置是矩阵特有的一种概念，比如 M 的矩阵转置会被记作 M^T，转置之后矩阵原来是 M 行， N 列变成了 N 行 M 列，可以通过图以看出来，原来是三行两转置之后变成了二行三列。

5、矩阵的数学操作

（1）标量和矩阵的乘法

矩阵 M 能和标量 k 相乘，结果是一个和 M 维数相同的矩阵。

标量和矩阵乘法比如一个标量 K 和一个矩阵 M 相乘等于矩阵中所有的元素与 K 相乘，结果是一个矩阵的维数，跟相乘之前的维数一样。

（2）矩阵乘法

一个 r x n 矩阵 A 能够乘以一个 n x c 矩阵 B，结果是一个 r x c 矩阵，记作 AB。

记 r x n 矩阵 A 与 n x c 矩阵 B 的积 r x c 矩阵 AB 为 C。C 的任意元素 C_ij 等于 A 的第 i 行向量与 B 的第 j 列向量的点乘结果。

是矩阵与矩阵之间的乘法，比如 A 和 B 两个矩阵相乘，对于 A、B的两个维度有要求，比如 a 是 2x n 的维度，B 行数跟 a 的列数必须要一致，行数必须是 n ，在这个例子中维度是 n x c ，相乘之后有 r x n 的矩阵和 n x c 的矩阵相乘之后会获得一个新的矩阵，是 r x c 维度的矩阵，a、b 的元素比如第 ij 的元素位于第 i 行第 j 列的元素等于 a 的第 i 行的向量与 B 的第 j 行向量的点乘的结果。