L6-假设检验：临界值法与P值法

假设检验(hypothesis testing)，又称统计假设检验，先做出某种假设，然后通过抽样收集数据进行统计推理，对此假设应该被拒绝还是接受做出推断。

e.g. 某药品X 可以起到降血糖的作用，为检验其药效，随机抽取9 位实验者。记录服药前的血糖值，然后让每位实验者服用该药物，连续服药一周后，再次记录其血糖值度。服药前后血糖差值如下：

1.5 ， 0.6 ， − 0.3 ， 1.1 ， − 0.8 ， 0 ， 2.2 ， − 1.0 ， 1.4

1. 建立两个完全对立的假设

原假设（零假设）H ₀  ，备择假设 （对立假设）H ₁。

原假设与备择假设是不对称的，决定谁是原假设，依赖于立场、惯例、方便性。

（1）保护原假设：如果错误地拒绝假设A比错误地拒绝假设B带来更严重的后果——A选作原假设。

假设A：新药有某种毒副作用

假设B：新药无某种毒副作用

“有毒副作用”错误地当成“无毒副作用”比“无毒副作用”错误地当成“有毒副作用”带来的后果更严重，因此A选作原假设H ₀

（2）原假设为维持现状：为解释某些现象或效果的存在性，原假设常取为“无效果”、“无改进”、“无差异”，等，拒绝原假设表示有较强的理由支持备择假设。

原假设H ₀ ：药物无效

备择假设H 1: 药物有效

（3）原假设取简单假设：只有一个参数(或分布)的假设称为简单假设.如果只有一个假设是简单假设，将其取为原假设。

参数假设的形式

设θ 是反映总体指标某方面特征的量, 是我们感兴趣的参数，一般参数θ

的假设有三种情形:

H ₀ ： θ = θ ₀， H ₁ ： θ < θ ₀（左边检验）

H ₀ ： θ = θ ₀， H ₁ ： θ > θ ₀（右边检验）

H 0 ： θ =θ ₀，H ₁： θ ≠ θ ₀ （右边检验）

其中，H ₀： θ ≥ θ ₀，H ₁ ： θ < θ ₀（左边检验）与H ₀ ： θ = θ 0 ， H ₁ ： θ < θ ₀ （左边检验）的检验法则与检验效果一致。

同理，H ₀ ： θ ≤θ ₀ ， H ₁ ： θ > θ ₀（右边检验）与 H ₀ ： θ = θ ₀， H ₁： θ > θ ₀（右边检验）的检验法则与检验效果一致。

2. 给出检验统计量，并确定拒绝域的形式

如果统计量T = T ( X 1 , . . . , X n ) 的取值大小和原假设H ₀是否成立有密切联系，可将其称为对应假设问题的检验统计量，而对应于拒绝原假设H ₀ 时，样本值的范围称为拒绝域，记为W ，其补集W ˉ 称为接受域。

该例中，设服药前后血糖差值X ∼ N ( μ , σ 2 ) 并假设σ = 0.36

假设检验：H ₀  ： μ = 0 ， H ₁ ： μ > 0

由于X  是μ的无偏估计，X 的取值大小反映了μ 的取值大小，当原假设成立时（药物无效），X 取值应偏小。

因此

当 时，拒绝原假设H ₀ 

当 时，接受原假设H ₀ 

本例中检验统计量X ，拒绝域

关键问题：如何选择C

两类错误

由于样本的随机性，任一检验规则在应用时，都有可能发生错误的判断——两类错误。

第I 类错误：拒绝真实的原假设(弃真)

第I I类错误：接受错误的原假设(取伪)

令

α = P {第I类 错 误 } = P { 拒 绝 H ₀   ∣ H ₀  为 真 }

β = P {第II类 错 误 } = P { 接 受H ₀   ∣ H ₀  为 假 }

e.g. 总体X ∼ N ( μ , 1 ) ，则

犯两类错误的概率相互制约。

Neyman-Pearson原则

首先控制犯第I 类错误的概率不超过某个常数α ∈ ( 0 , 1 ) ，再寻找检验，使得犯第I I类错误的概率尽可能小。α称为显著水平。常取α = 0.01 ， 0.05 ， 0.1等。

3. 临界值法：根据显著水平和统计量的分布确定临界值

本例中，取显著水平α = 0.05

当H ₀  ： μ = 0 成立时，

犯第I 类错误的概率

Φ(−z  0.05 )=0.05，

根据Neyman-Pearson原则，为使犯第I I 类错误的概率尽可能小，应取C = 0.329 ，因此拒绝域为W = { X ˉ ≥ 0.329 }

4. 根据样本得出结论

根据样本 在拒绝域内。

当原假设H ₀  成立时，样本落在拒绝域的概率不超过0.05，是小概率事件。根据实际推断原理，有充分的理由拒绝原假设（药物无效），认为药物有效。

同理可验证，若取显著性水平α = 0.01，拒绝域W = { X ˉ ≥ 0.465 } ，依然在拒绝域内，因此拒绝原假设。

5. P值法

P_值：当原假设H ₀ 成立时，检验统计量取比观察到的结果更为极端的数值的概率，即最小显著性水平。

通过比较P 值 与显著性水平，得出结论：概率这么小的事件发生了，因此拒绝原假设。

P _值与显著水平α 的关系：

若P _ ≤ α ，等价于样本落在拒绝域内，因此拒绝原假设，称检验结果在水平α下是统计显著的。

若P _ > α ，等价于样本不落在拒绝域内，因此接受原假设，称检验结果在水平α 下是统计不显著的。

小结

（1）临界值法处理假设检验问题的基本步骤

根据实际问题提出原假设和备择假设

提出检验统计量和拒绝域的形式

在给定的显著水平α 下，根据Neyman-Pearson原则求出拒绝域的临界值

根据实际样本观测值做出判断

（2）P _ 值法处理假设检验问题的基本步骤

根据实际问题提出原假设和备择假设

提出检验统计量和拒绝域的形式

计算检验统计量的观测值与P _ 值

根据给定的显著水平α 做出判断