这里面的题目都可以从https://www.lanqiao.cn/courses/2786/learning/?id=280833得到，写了一些python的解法
除了本身的题解之外，也可以配套视频看一下吧，在我空闲之余做了这个的讲解，希望对大家有帮助，B站讲解视频
试题 A:卡片
思路
对于这道题来说，我局的思路还是比较清晰的，我们首先知道自己的卡片个多少张，我们可以利用一个哈希表，只要我们在拼一个数字的时候，我们的哈希表的值为0了，也就是我们的客片不够了，我们就直接输出我们的结果
对于python来说，我们可以很容易的去用我们的字典，我们的字典就是我们的哈希表，代码还是很简单的
代码
# https://www.lanqiao.cn/problems/1443/learning/ h = {} n = 2021 # 卡片的数目 for i in range(10): h[str(i)] = n # 定义每张卡片的数目 flag = True i = 0 while flag: i += 1 for x in str(i): h[x] -= 1 # 拼x这个数需要用掉一张卡片 if h[x] < 0: # 卡片少于0，说明第i张卡片拼不了 flag = False break print(i-1)
答案
3181
试题 B:直线
思路
对于这道题来说，我们就需要根据我们学的数学公式，也就是我们的斜率和截距公式
对于每一条直线来说，最重要的就是他的斜率和截距，如果我们单单以斜率来看的话，就忽略了截距，所以两者都需要考虑，除此之外，我们还需要考虑的就是特殊情况，即斜率不存在的情况
所以我们就可以遍历所有的点，对于我们的任意两点是可以组成一条直线的，我们记录他的斜率和截距，最后我们再加上我们没有计算的斜率不存在的情况，斜率不存在的情况也很简单，就是我们的x坐标的范围，在这道题就是20。
代码
#直线 points=[[x,y] for x in range(20) for y in range(21)] #创建二维列表：代表xy坐标系 docker=set() #创建集合属性的容器：因为集合里的元素不会重复 for i in range(len(points)): #二重循环遍历每个坐标 x1,y1=points[i][0],points[i][1] #注意书写格式：a,b=c,d for j in range(len(points)): x2,y2=points[j][0],points[j][1] if x1==x2: #特殊情况：直线垂直时斜率不存在，先跳过最后计算 continue k=(y2-y1)/(x2-x1) #斜率公式 b=(x2*y1-x1*y2)/(x2-x1) #截距公式 if (k,b) not in docker: #存入容器里没有的（斜率，截距）对 docker.add((k,b)) print(len(docker)+20) #输出结果：容器的长度40237+斜率不存在的20种情况=40257
答案
40257
试题 C:货物摆放
思路
这道题说简单也简单，不简单也不简单，如果用穷举的方法，用python不知道要猴年马月才能算出来
所以我们就要用聪明一点的方法，比如我们可以首先得到我们的n的约数，之后来说，就是这些约数的组合了，因为我们肯定要保证长宽高是我们的n的约数的，要不然不可能可以满足题目条件
接着我们就可以对约数进行一个组合，如果组合结果相乘是n的话，我们就可以把方案输出
tips:其实对于这道题来说，我们还可以利用分解质因数的方法，这个方法就可以在1s内输出结果，简单来说，就是会对我们的n分解质因数，对于分解的质因数我们也可以进行组合变成我们的因数，最后结果相乘就是我们的n，因为都是分解质因数得来的结果。
代码
n=2021041820210418 #货物数量 ans=0 #初始统计值为0 docker=set() #创建集合属性的容器 for i in range(1,int(n**0.5)+1):#循环遍历，筛选n的约数（对n开根号是为了加快速度） if n%i==0: docker.add(i) docker.add(n//i) for i in docker: #三重循环遍历容器（放心，三重不慢，运行5s就出结果） for j in docker: for k in docker: if i*j*k==n: #满足条件，方案数+1 ans+=1 print(ans) #输出结果：2430
答案
2430
试题 D:路径
思路
这道题还是比较简单得到，我们可以看到这个是一个无向图，我们可以直接用动态规划的思想，也就是DP的思想来解决，首先我们可以看到条件，两个节点，如果差的绝对值大于21，就无边先连，否则，就用长度为最小公倍数的无向边相连。
我们求的是最短路径，首先我们就可以遍历差为21的数，这里就是用二层循环表示，最后我们再用dp的方式，这个动态转移的方法还是简单的，两种情况，直接用当前的数，或者加上最小倍数的长度，这两者的最小值就是我们的最短路径的长度
代码
import math # 最小公倍数模板 def lcm(a,b): return a*b//math.gcd(a, b)# 利用内置函数 dp = [float('inf')]*(2021+1) dp[1] = 0 # 节点从0开始 for i in range(1,2021+1): # 1 -> 2021 for j in range(i+1,i+21+1): # 差为21 if j > 2021: break dp[j] = min(dp[j],dp[i]+lcm(i, j)) # 动态转移方程 print(dp[2021])
答案
10266837
试题 E:回路计数
思路
这道题主要的思路就是状态压缩的动态规划，简称状压DP
简单来说，我们可以用二进制来代表我们的21个状态，加入我们有4栋教学楼，那么我们访问所有教学楼就是1111（二进制），初始状态是从第一个教学楼走的，也就是初始状态为1000，利用这样的方法，如果有n栋教学楼，我们就有1<<n种状态，这道题就是2的21次方个状态
除此之外，我们还需要一个记录两个教学楼是否互通，就是判断两者的最大公因数是否为1
最后我们就可以用这道题的核心，也就是我们状态压缩DP，对于这个状压DP来说，我们的想法就是，d p [ i ] [ j ] dp[i][j]dp[i][j]对于状态i，i的二进制表示中为1的位置，表示走过了教学楼 j
我们会枚举每一个状态，对于每一位来说，我们都会判断状态i是否包含第j栋教学楼，如果包含的话，就会进行判断其他位，枚举所有可能从教学楼k走到教学楼j的情况，加入我们的状态i除去j后还包含j的话，我们就可以加入其中的方案
最后我们就可以得到所有的方案，不过要减去j状态为0时候的方案，因为我们一开始就是从0，也就是第一件教学楼出现的。
代码
import os import sys from math import gcd n = 21 m = 1 << n # 一共有2的21次方个状态 dp = [[0]*n for i in range(m)] # dp[i][j]对于状态i，i的二进制表示中为1的位置 表示走过了教学楼j load = [[False]*n for i in range(n)] # 存储i, j之间是否有路 for i in range(1,n + 1): for j in range(1,n + 1): if gcd(i, j) == 1: load[i-1][j-1] = True dp[1][0] = 1 # 表示初始状态，也就是第二个状态 0000...0001 第一位为1 for i in range(1,m): # 枚举每一个状态 for j in range(n): # 对每一位 判断状态i是否包含第j栋教学楼 if i >> j & 1: # 如果第j+1位为1 for k in range(n): # 判断其他位 枚举所有可能从教学楼k走到教学楼j的情况 if (i - (1<<j)) >> k & 1 and load[k][j]: # 判断状态i除去j后是否包含k dp[i][j] += dp[i-(1<<j)][k] print(sum(dp[m-1]) - dp[m-1][0])
答案
881012367360
