本节书摘来华章计算机《大数据算法》一书中的第2章 ，第2.5节，王宏志 编著, 更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看。
2.5 串相等判定算法
本节讨论一个通信亚线性算法问题，因为在很多情况下，数据传输时间和数据量大致成正比，因而将通信亚线性算法归到本章讨论。
在现实中会有这样的问题，假设A公司总部有一个庞大的数据库，而在分公司B处保存这个数据库的副本，为了数据库的一致性，要定期地比较数据。这就涉及串相等判定问题。
串相等判定问题
输入：串s1和s2。
输出：如果s1=s2输出“是”，如果s1≠s2输出“否”。
很显然，任何一致性检测都要求发送所有n位数据，否则，无法检测未发送位置的错误。但是，对于庞大的数据库，n可能非常大，传输全部n位几乎不可能。
设将s1中的n位数据表示为（a1,…,an）,s2中的n位数据表示为（b1,…,bn），一个可能的方法是随机选一些位，然后对随机选择的位进行判断。这样做的问题在于，如果产生的错误在总的串中比例很小(比如仅有一个错误)，则这种方法将失效。因而需要具有全局性的方法。
基本想法是为两个字符串制作指纹来体现字符串的全局特征，即我们将数据看成n位的整数a和b，
，定义指纹函数（p为素数）：Fp(x)=x mod p。
算法是随机选取素数p，检测Fp(a)=Fp(b)是否成立。
下面讨论p的选取对算法的影响。
根据这个算法，在计算过程中，需要比较的数字最大不超过p，因而需要传输logp位，而不是n位。考虑到传输效率的问题，希望选择一个较小的p。
下面讨论算法的误判概率，在a和b不等且都与p同余的情况下会发生假阳性的误判。
设c =a-b，也就是，当a≠b且c整除p时发生误判。由于c≤2n，c的素因子至多有n个。给定一个p，通过素数定理，大概有p/ln(p)个小于p的素数，此时出错的概率是nlnp/p。
根据上述讨论，现在我们想选择一个素数p，这个数字要足够大以确保有足够多小于p的素数，同时这个数字又要足够小以确保高效的通信。
取p=2n2ln(n)(取这个数是为了计算方便，但这样的p可能不是一个整数，在实际实现中可以取p是一个大于2n2ln(n)但和2n2ln(n)最接近的素数)，代入出错概率公式，发生错误的概率不超过2/n,在这种情况下需要传输的位数为O(logn)。
习题
2.1 证明2.1.3节中生成的多边形PA和PB包含点的个数为O(n)。
2.2 为了保障航运安全，旅客不允许携带危险品乘坐飞机，因此在旅客登机前需要由安检人员检测旅客是否携带危险物品。假设共有n名旅客需要登机，用o(n)时间近似判断这n名旅客是否有人携带危险品。
2.3 在输入的正文串（长度为n）中查找某一字符是否出现，若出现，输出1，否则输出0。设计时间复杂度为o(n)的算法求解这个问题。
2.4 miRNA（微小RNA）在生命活动中具有重要功能，由约21个碱基构成，比如AUGUCCUCCUUAUGCCUAUGC可能就是一条miRNA。如果我们想知道细胞内有没有感兴趣的miRNA，可以通过测序解决。测序结果可能是n个21碱基的序列。设计时间复杂度为o(n)的算法，给定包含n个测序结果的集合S（n条序列）和感兴趣的miRNA序列l，判定S是否包含l。
2.5 一幅二值图（有n个像素）仅由0和1组成，设计时间复杂度为o(n)的算法，判断该图的黑色(1)和白色(0)是否各占一半。
2.6 设计亚线性算法检查两个字符串是否相同。
2.7 设计时间复杂度为o(n)的算法，判断一个包含n个数的数组是否有相同的数字。
2.8 设计时间复杂度为o(n)的算法，判定输入规模为n的0,1数组中，是否正好有k（k≤n）个0。
2.9 设计时间复杂度为o(n)的算法,判定一个长度为n的0，1数组是否为0，1交替的循环数组。
