🤡前言🤡
大家日常进行编程的时候肯定遇见过一个数的高次幂求解,而一个数的高次幂一般又不是核心算法,所以我们需要进行一定的优化,减少求高次幂的时间,为核心算法争取时间。本篇博客将会介绍到普通数的快速幂与矩阵快速幂。通常来说快速幂分为以下两种求解方式：
分治（递归）：将a4拆为a2a2 ，将a2拆为aa，以减少计算次数
位运算：利用十进制与二进制的关系,进行求解。
矩阵快速幂的作用之一是加速递推数列的计算
💟Python下的快速幂💞
💗问题分析💗
得益于Python强大的计算能力。
💗代码实现💗
print(2**100)
💟分治实现快速幂💞
🧡问题分析🧡
如果为奇数,就在返回后将少乘的a补上
如果为偶数就不用补a
上一层函数补下一层函数少乘的a
等函数递归到指定的条件将结果逐一返回
🧡代码实现🧡
def f1(a,n): if n==1: return a tem=f1(a,n//2) if n%2==1: return tem*tem*a else: return tem*tem print(f1(2,100))
💟位运算实现快速幂💞
💛问题分析💛
位运算
按位与（&）：两数二进制下对应位置的数同为1,结果才为1
按位或（|）：两数二进制下对应位置的数有一个为1,结果才为1
异或（^）：对应位置相同为0,不同为1
左移：二进制位数下左移一位,也就是将最后一位抹去
右移：二进制位数下右移一位就是在末尾补上0,对应的十进制乘以2
比如a6可以认为是二进制下a110，可以写成a4*a2,从最低位开始比较,
从a1开始,依次累乘a,如果满足,最低位为1,就将对应的an乘到结果上。
💛代码实现💛
n=100 a=2 ans=1 print(bin(n)[2:]) while n: if n&1: ans*=a a*=a n>>=1 print(ans)
💟矩阵快速幂💞
💚问题描述💚
题目描述：
给定一个n*n的矩阵，求该矩阵的k次幂，即P^k。
输入：
输入包含多组测试数据。
数据的第一行为一个整数T(0<T<=10)，表示要求矩阵的个数。
接下来有T组测试数据，每组数据格式如下：
第一行：两个整数n（2<=n<=10）、k（1<=k<=5），两个数字之间用一个空格隔开，含义如上所示。
接下来有n行，每行n个正整数，其中，第i行第j个整数表示矩阵中第i行第j列的矩阵元素Pij且（0<=Pij<=10）。另外，数据保证最后结果不会超过10^8。
输出：
对于每组测试数据，输出其结果。格式为：
n行n列个整数，每行数之间用空格隔开，注意，每行最后一个数后面不应该有多余的空格。
样例输入：
3
2 2
9 8
9 3
3 3
4 8 4
9 3 0
3 5 7
5 2
4 0 3 0 1
0 0 5 8 5
8 9 8 5 3
9 6 1 7 8
7 2 5 7 3
样例输出：
153 96
108 81
1216 1248 708
1089 927 504
1161 1151 739
47 29 41 22 16
147 103 73 116 94
162 108 153 168 126
163 67 112 158 122
152 93 93 111 97
💚问题分析💚
矩阵快速幂
只有方阵才可以进行幂运算,所以矩阵的行列数一定相等
矩阵快速幂遵循的思想依旧是快速幂的思想,将指数进行拆分与合并。
矩阵加速递推关系的运算
矩阵可以加速递推关系的运算：最简单的应用就是进行斐波那契数列的求取
加速可以应用于线性动态规划。
💚代码实现💚
import time # --------------------矩阵的快速幂---------------------------- # # #矩阵乘法 def MMOPE(a,b): ''' 传进来两个矩阵,相乘之后将相乘的结果返回出去 ''' ans=[] t=len(a) t1=len(b[0]) # 前面的矩阵 for i in range(t): # 后面的矩阵 temp=[] for j in range(t1): # 行与列相乘 tempans=0 for k in range(t): tempans+=a[i][k]*b[k][j] temp.append(tempans) tempans=0 ans.append(temp) return ans # --------------------测试矩阵的快速幂------------------------ # # 矩阵的宽度长度与矩阵的幂次 n,m=map(int,input().split()) # 初始化结果矩阵 ans=[[0 if i!=j else 1 for i in range(n)] for j in range(n)] # 键入测试矩阵 P=[list(map(int,input().split())) for i in range(n)] start=time.time() # 这里的运算与数值的快速幂一样简单。 while m: if m&1: ans=MMOPE(ans,P) m=m>>1 P=MMOPE(P,P) end=time.time() # print(f'计算用时：{end-start}s') for i in ans: flag=True for j in i: if flag: print(j,end="") flag=False else: print(f" {j}",end="") print()
💟矩阵加速求斐波那契数列💞
💙问题描述💙
求一下斐波那契数列的第n项
💙问题分析💙
矩阵加速数列的运算主要用于有递推公式的数列，典型的应用就是求超级大项的斐波那契数列
在线性动态中应用也非常的广泛。对于矩阵加速计算,需要先构造出元矩阵
（只要能够使用元矩阵表示各个式子之间的关系即可为了方便计算仍需要矩阵越简单越好。）
普通求法：
第500000项
测试用例：斐波那契第500000项,用时：2.1083614826202393s
矩阵加速求法：
第1000000项
测试用例：斐波那契第1000000项,用时：0.36700010299682617s
💙代码实现💙
# 矩阵乘法 def MMOPE(a,b): ''' 传进来两个矩阵,相乘之后将相乘的结果返回出去 ''' ans=[] t=len(a) t1=len(b[0]) # 前面的矩阵 for i in range(t): # 后面的矩阵 temp=[] for j in range(t1): # 行与列相乘 tempans=0 for k in range(t): tempans+=a[i][k]*b[k][j] temp.append(tempans) tempans=0 ans.append(temp) return ans n=int(input()) n1=n m=[[0,1],[1,1]] ans=[[1],[1]] n-=1 start=time.time() while n: if n&1: ans=MMOPE(m,ans) m=MMOPE(m,m) n=n>>1 end=time.time() print(f"测试用例：斐波那契第{n1}项,用时：{end-start}s") print(ans[0][0])
💟矩阵加速递推数列求解💞
🤍问题描述🤍
题目描述
已知一个数列 aa，它满足：
a(x)= 1 x in {1,2,3}
a(x)= a{x-1}+a{x-3} x>=4
求 a 数列的第 n 项对 10^9+7取余的值。
输入格式
第一行一个整数 T，表示询问个数。
以下 T 行，每行一个正整数 n。
输出格式
每行输出一个非负整数表示答案。
输入输出样例
输入
3
6
8
10
输出
4
9
19
说明
对于%30的数据 n<=100n≤100；
对于%60的数据 n <=210^7
对于%100的数据 1<=T<=100，1<=n<=210^9
🤍问题分析🤍
首先构造递推数列元矩阵,由于an-1与an-3之间缺一项,所以咱们构造的时候需要使用3*3的矩阵以补全不足。
🤍代码实现🤍
def MMOPE(a,b): ''' 传进来两个矩阵,相乘之后将相乘的结果返回出去 ''' ans=[] t=len(a) t1=len(b[0]) # 前面的矩阵 for i in range(t): # 后面的矩阵 temp=[] for j in range(t1): # 行与列相乘 tempans=0 for k in range(t): tempans+=a[i][k]*b[k][j] temp.append(tempans) tempans=0 ans.append(temp) return ans n=int(input()) # 输入测试数据 ls=[] # 存储测试结果 result=[] add=result.append for i in range(n): ls.append(int(input())) for i in ls: # 以中间的那一位作为最终的值 op=[[0],[0],[1]] # 初始化加速矩阵 ans=[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,1]] while i: if i&1: op=MMOPE(ans,op) ans=MMOPE(ans,ans) i>>=1 add(op[1][0]) for i in result: print(i)
