第4讲 李群和李代数
4.1 李群与李代数基础
特殊正交群SO(3)
特殊欧氏群SE(3)
4.2 指数与对数映射
4.3 李代数求导与扰动模型
李代数的导数：
扰动模型：
扰动模型更为实用
4.4 实践：Sophus
eigen提供了几何模块，但是没有提供李代数的支持
1. Sophus安装
https://blog.csdn.net/qq_39236499/article/details/122723766
2. 代码讲解
#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; #include <Eigen/Core> #include <Eigen/Geometry> #include "sophus/so3.h" #include "sophus/se3.h" int main( int argc, char** argv ) { // 沿Z轴转90度的旋转矩阵 Eigen::Matrix3d R = Eigen::AngleAxisd(M_PI/2, Eigen::Vector3d(0,0,1)).toRotationMatrix(); Sophus::SO3 SO3_R(R); // Sophus::SO(3)可以直接从旋转矩阵构造 Sophus::SO3 SO3_v( 0, 0, M_PI/2 ); // 亦可从旋转向量构造 Eigen::Quaterniond q(R); // 或者四元数 Sophus::SO3 SO3_q( q ); // 上述表达方式都是等价的 // 输出SO(3)时，以so(3)形式输出 cout << "构造李群SO3: " << endl; cout << "SO(3) from matrix: " << SO3_R << endl; cout << "SO(3) from vector: " << SO3_v << endl; cout << "SO(3) from quaternion :" << SO3_q << endl; cout << endl; // 使用对数映射获得它的李代数 Eigen::Vector3d so3 = SO3_R.log(); cout << "对应的李代数so3 = \n" << so3 << endl; //是向量 // hat 为向量到反对称矩阵 cout << "so3 hat= \n" << Sophus::SO3::hat(so3) << endl; //是矩阵 // 相对的，vee为反对称到向量 cout << "so3 hat vee= \n" << Sophus::SO3::vee(Sophus::SO3::hat(so3)) << endl; //是向量 // 增量扰动模型的更新 Eigen::Vector3d update_so3(1e-4, 0, 0); //假设更新量为这么多 Sophus::SO3 SO3_updated = Sophus::SO3::exp(update_so3) * SO3_R; cout << "增量扰动模型的更新: " << endl; cout << "SO3 updated = " << SO3_updated << endl; cout << endl; /********************萌萌的分割线*****************************/ cout<<"************我是分割线*************"<<endl; // 对SE(3)操作大同小异 Eigen::Vector3d t(1,0,0); // 沿X轴平移1 Sophus::SE3 SE3_Rt(R, t); // 从R,t构造SE(3) Sophus::SE3 SE3_qt(q, t); // 从q,t构造SE(3) cout << "SE3 from R,t= \n" << SE3_Rt << endl; cout << "SE3 from q,t= \n" << SE3_qt << endl; // 李代数se(3) 是一个六维向量，方便起见先typedef一下 typedef Eigen::Matrix<double,6,1> Vector6d; Vector6d se3 = SE3_Rt.log(); cout << "李代数 se3 = \n" << se3 << endl; //6*1 // 观察输出，会发现在Sophus中，se(3)的平移在前，旋转在后. // 同样的，有hat和vee两个算符 cout << "se3 hat = \n" << Sophus::SE3::hat(se3) << endl; //4*4 cout << "se3 hat vee = \n" << Sophus::SE3::vee(Sophus::SE3::hat(se3)) << endl; //6*1 // 最后，演示一下更新 Vector6d update_se3; //更新量 update_se3.setZero(); update_se3(0,0) = 1e-4d; Sophus::SE3 SE3_updated = Sophus::SE3::exp(update_se3) * SE3_Rt; cout << "SE3 updated = \n" << SE3_updated.matrix() << endl; //4*4 return 0; }
