主要介绍在三种插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值，以及这三种方法在matlab中如何实现。

拉格朗日插值：

基本原理：先构造一组基函数：

是次多项式，满足

上式称为次Lagrange插值多项式。

用Matlab作Lagrange插值：

matlab没有现成的lagrange函数，需要手动写，如下：

x0，y0为原始坐标点，维度必须相同。

x为待插值的点。

y是返回值，是最终插值结果。

function Lagrange(X,Y,x0)
Len_y=length(Y);
Len_x=length(X);
if Len_y~=Len_x
    errorlog('维数不等');
else
    syms x;
    p=0;
    for i=1:Len_y
        q=1;
        for j=1:Len_x
            if j~=i
                q=q*(x-X(j))/(X(i)-X(j));
            end
        end
        p=p+q*Y(i);
    end
    simplify(p);
    if nargin==3
        sprintf('给定点处的函数值得近似值为: %f',subs(p,'x',x0))
    else 
        sprintf('所求的拉格朗日的插值函数为: ')
        p=collect(p);
        p=vpa(p,6),
    end
end
end

分段线性插值：

基本原理：

将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。计算点的插值时，只用到左右的两个节点，计算量与节点个数n（初始值x0，y0的长度,n=length(x0)）无关，而拉格朗日插值与n值有关。分段线性插值中n越大，分段越多，插值误差越小。

Matlab实现分段线性插值：

用matlab实现分段线性插值不需要自己手动编写函数，matlab有现成的一维插值函数interp1y=interp1(x0,y0,x,'method')

method指定插值方法，其值可为：

linear：线性插值（默认）

nearest：最近项插值

spline：逐次3次样条插值

cubic：保凹凸性 3 次插值

所有插值方法都要求x0单调。

三次样条插值：

使用三次样条插值有两种方法：其中一种就是第二种插值方式（分段线性插值），只需要将method修改为spline即可实现。

还有一种实现方式如下：

pp=csape(x0,y0);

y=ppval(pp,x);

其中x0，y0，x与前面含义相同，返回值y即插值结果。

例题）：

表1给出的 x, y 数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得到 x 坐标每改变0.1 时的 y 坐标。试完成加工所需数据，画出曲线。要求用 Lagrange、分段线性和三次样条三种插值方法计算。

表1

x   0 3 5 7 9 11 12 13 14 15

y   0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6

解：编写代码如下：

clear,clc
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
x1=[0:0.1:15];
%拉格朗日插值
y1=lagrange(x0,y0,x1);
figure
plot(x0,y0,x1,y1,'.')
title('拉格朗日插值')
%分段线性插值
y2=interp1(x0,y0,x1);
figure
plot(x0,y0,x1,y2,'.')
title('分段线性插值')
%三次样条插值
y3=interp1(x0,y0,x1,'spline');
figure
plot(x0,y0,x1,y3,'.')
title('三次样条插值')

lighting 调用语法：

lighting options   %设置照明模式

该指令只有在light指令执行执行后在起作用，此外options有以下四种取值：

flat：入射光均匀洒落在图形上的每个面上，主要与facted配用，他是默认模式。

gouraud：先对顶点颜色插补，再对顶点勾划的面色进行插补，用于曲面表现。

phong：对定点出法线插值，在计算各个像素的反光，表现效果最好。

none：使所有光源关闭。

matlab中x.^2与x^2有什么区别？

.^2是矩阵中的每个元素都求平方，^2是求矩阵的平方或两个相同的矩阵相乘，因此要求矩阵为方阵，且看下面的例子

x=1:4

x =

1 2 3 4

x.^2

ans =

1 4 9 16

x^2

Error using ^

Inputs must be a scalar and a square matrix.

To compute elementwise POWER, use POWER (.^) instead.

x=[1 2;3 4]

x =

1 2

3 4

x^2

ans =

7 10

15 22

x.^2

ans =

1 4

9 16