傅里叶变换
图像处理一般分为空间域处理和频率域处理。
空间域处理是直接对图像内的像素进行处理。
空间域处理主要划分为灰度变换和空间滤波两种形式。
- 灰度变换是对图像内的单个像素进行处理，比如调节对比度和处理阈值等。
- 空间滤波涉及图像质量的改变，例如图像平滑处理。空间域处理的计算简单方便，运算速度更快。
频率域处理是先将图像变换到频率域，然后在频率域对图像进行处理，最后再通过反变换将图像从频率域变换到空间域。
理论基础
时间差，在傅里叶变换里就是相位。相位表述的是与时间差相关的信息。
在图像处理过程中，傅里叶变换就是将图像分解为正弦分量和余弦分量两部分，即将图像从空间域转换到频域。
数字图像经过傅里叶变换后，得到的频域值是复数。因此，显示傅里叶变换的结果需要使用实数图像（real image）加虚数图像（complex image），或者幅度图像（magnitude image）加相位图像（phase image）的形式。
因为幅度图像包含了原图像中我们所需要的大部分信息，所以在图像处理过程中，通常仅使用幅度图像。
如果希望先在频域内对图像进行处理，再通过逆傅里叶变换得到修改后的空域图像，就必须同时保留幅度图像和相位图像。
对图像进行傅里叶变换后，会得到图像中的低频和高频信息。
低频信息对应图像内变化缓慢的灰度分量。高频信息对应图像内变化越来越快的灰度分量，是由灰度的尖锐过渡造成的。
傅里叶变换的目的，就是为了将图像从空域转换到频域，并在频域内实现对图像内特定对象的处理，然后再对经过处理的频域图像进行逆傅里叶变换得到空域图像。
傅里叶变换在图像处理领域发挥着非常关键的作用，可以实现图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩和加密等。
Numpy实现傅里叶变换
Numpy模块中的fft2()函数可以实现图像的傅里叶变换。
实现傅里叶变换
Numpy提供的实现傅里叶变换的函数是numpy.fft.fft2()，它的语法格式是：
返回值 = numpy.fft.fft2(原始图像)
参数“原始图像”的类型是灰度图像，函数的返回值是一个复数数组（complex ndarray）。
经过该函数的处理，就能得到图像的频谱信息。
此时，图像频谱中的零频率分量位于频谱图像（频域图像）的左上角
为了便于观察，通常会使用numpy.fft.fftshift()函数将零频率成分移动到频域图像的中心位置。
函数numpy.fft.fftshift()的语法格式是：
返回值=numpy.fft.fftshift(原始频谱)
使用该函数处理后，图像频谱中的零频率分量会被移到频域图像的中心位置，对于观察傅里叶变换后频谱中的零频率部分非常有效。
对图像进行傅里叶变换后，得到的是一个复数数组。
为了显示为图像，需要将它们的值调整到[0, 255]的灰度空间内，使用的公式为：
像素新值=20*np.log(np.abs(频谱值))
用Numpy实现傅里叶变换，观察得到的频谱图像。
import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift)) plt.subplot(121) plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original') plt.axis('off') plt.subplot(122) plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray') plt.title('result') plt.axis('off') plt.show()
实现逆傅里叶变换
注意: 如果在傅里叶变换过程中使用了numpy.fft.fftshift()函数移动零频率分量，那么在逆傅里叶变换过程中，需要先使用numpy.fft.ifftshift()函数将零频率分量移到原来的位置，再进行逆傅里叶变换
函数numpy.fft.ifftshift()是numpy.fft.fftshift()的逆函数，其语法格式为：
调整后的频谱 = numpy.fft.ifftshift(原始频谱)
numpy.fft.ifft2()函数可以实现逆傅里叶变换，返回空域复数数组。
它是numpy.fft.fft2()的逆函数，该函数的语法格式为：
返回值=numpy.fft.ifft2(频域数据)
函数numpy.fft.ifft2()的返回值仍旧是一个复数数组（complex ndarray）。
逆傅里叶变换得到的空域信息是一个复数数组，需要将该信息调整至[0, 255]灰度空间内，使用的公式为：
iimg = np.abs(逆傅里叶变换结果)
在Numpy内实现傅里叶变换、逆傅里叶变换，观察逆傅里叶变换的结果图像。
import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) ishift = np.fft.ifftshift(fshift) iimg = np.fft.ifft2(ishift) iimg = np.abs(iimg) plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') plt.title('iimg'), plt.axis('off') plt.show()
高通滤波示例
一幅图像内，同时存在着高频信号和低频信号。
- 低频信号对应图像内变化缓慢的灰度分量。例如，在一幅大草原的图像中，低频信号对应着颜色趋于一致的广袤草原。
- 高频信号对应图像内变化越来越快的灰度分量，是由灰度的尖锐过渡造成的。如果在上面的大草原图像中还有一头狮子，那么高频信号就对应着狮子的边缘等信息。
滤波器能够允许一定频率的分量通过或者拒绝其通过，按照其作用方式可以划分为低通滤波器和高通滤波器。
- 允许低频信号通过的滤波器称为低通滤波器。低通滤波器使高频信号衰减而对低频信号放行，会使图像变模糊。
- 允许高频信号通过的滤波器称为高通滤波器。高通滤波器使低频信号衰减而让高频信号通过，将增强图像中尖锐的细节，但是会导致图像的对比度降低。
傅里叶变换可以将图像的高频信号和低频信号分离。
通过对图像的频域处理，可以实现图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、压缩和加密等操作。
在Numpy内对图像进行傅里叶变换，得到其频域图像。然后，在频域内将低频分量的值处理为0，实现高通滤波。最后，对图像进行逆傅里叶变换，得到恢复的原始图像。
import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) rows, cols = img.shape crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0 ishift = np.fft.ifftshift(fshift) iimg = np.fft.ifft2(ishift) iimg = np.abs(iimg) plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') plt.title('iimg'), plt.axis('off') plt.show()
OpenCV实现傅里叶变换
OpenCV提供了函数cv2.dft()和cv2.idft()来实现傅里叶变换和逆傅里叶变换
实现傅里叶变换
函数cv2.dft()的语法格式为：
返回结果=cv2.dft(原始图像，转换标识)
在使用该函数时，需要注意参数的使用规范：
- 对于参数“原始图像”，要首先使用np.float32()函数将图像转换成np.float32格式。
- “转换标识”的值通常为“cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT”，用来输出一个复数阵列。
函数cv2.dft()返回的结果与使用Numpy进行傅里叶变换得到的结果是一致的，但是它返回的值是双通道的，第1个通道是结果的实数部分，第2个通道是结果的虚数部分。
经过函数cv2.dft()的变换后，得到了原始图像的频谱信息。
此时，零频率分量并不在中心位置，为了处理方便需要将其移至中心位置，可以用函数numpy.fft.fftshift()实现。
例如，如下语句将频谱图像dft中的零频率分量移到频谱中心，得到了零频率分量位于中心的频谱图像dftshift。
dftShift = np.fft.fftshift(dft)
经过上述处理后，频谱图像还只是一个由实部和虚部构成的值。要将其显示出来，还要做进一步的处理才行。
函数cv2.magnitude()可以计算频谱信息的幅度。该函数的语法格式为：
返回值=cv2.magnitude(参数1，参数2)
- 参数1：浮点型x坐标值，也就是实部。
- 参数2：浮点型y坐标值，也就是虚部，它必须和参数1具有相同的size
函数cv2.magnitude()的返回值是参数1和参数2的平方和的平方根，公式为：
得到频谱信息的幅度后，通常还要对幅度值做进一步的转换，以便将频谱信息以图像的形式展示出来。简单来说，就是需要将幅度值映射到灰度图像的灰度空间[0, 255]内，使其以灰度图像的形式显示出来。
这里使用的公式为：
result = 20*np.log(cv2.magnitude(实部，虚部))
import numpy as np import cv2 img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) print(dft) dftShift = np.fft.fftshift(dft) print(dftShift) result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1])) #两个参数，需要拆分通道 print(result)
用OpenCV函数对图像进行傅里叶变换，并展示其频谱信息。
import numpy as np import cv2 import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dftShift = np.fft.fftshift(dft) result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1])) plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray') plt.title('result'), plt.axis('off') plt.show()
实现逆傅里叶变换
在OpenCV中，使用函数cv2.idft()实现逆傅里叶变换，该函数是傅里叶变换函数cv2.dft()的逆函数。其语法格式为：
返回结果=cv2.idft(原始数据)
对图像进行傅里叶变换后，通常会将零频率分量移至频谱图像的中心位置。如果使用函数numpy.fft.fftshift()移动了零频率分量，那么在进行逆傅里叶变换前，要使用函数numpy.fft.ifftshift()将零频率分量恢复到原来位置。
注意: 在进行逆傅里叶变换后，得到的值仍旧是复数，需要使用函数cv2.magnitude()计算其幅度。
用OpenCV函数对图像进行傅里叶变换、逆傅里叶变换，并展示原始图像及经过逆傅里叶变换后得到的图像。
import numpy as np import cv2 import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dftShift = np.fft.fftshift(dft) ishift = np.fft.ifftshift(dftShift) iImg = cv2.idft(ishift) iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1]) # 计算幅度 plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') plt.title('inverse'), plt.axis('off') plt.show()
低通滤波示例
在一幅图像内，低频信号对应图像内变化缓慢的灰度分量。图像进行低通滤波后会变模糊。
实现的中间步骤
rows, cols = img.shape crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) mask = np.zeros((rows, cols,2), np.uint8) # 二维的原因，有实部和虚部 mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30,:] = 1
然后，将其与频谱图像进行运算，实现低通滤波。这里采用的运算形式是：
fShift = dftShift*mask
使用函数cv2.dft()对图像进行傅里叶变换，得到其频谱图像。然后，在频域内将其高频分量的值处理为0，实现低通滤波。最后，对图像进行逆傅里叶变换，得到恢复的原始图像。
import numpy as np import cv2 import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dftShift = np.fft.fftshift(dft) rows, cols = img.shape crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) mask = np.zeros((rows, cols,2), np.uint8) #两个通道，与频域图像匹配 mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30,:] = 1 fShift = dftShift*mask ishift = np.fft.ifftshift(fShift) iImg = cv2.idft(ishift) iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1]) plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('original'), plt.axis('off') plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') plt.title('inverse'), plt.axis('off') plt.show()
经过低通滤波后，图像的边缘信息被削弱了。
时域卷积 --> 频域乘积
