张祖锦_个人页

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.2.8

For any matrix $A$ the series $$\bex \exp A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\cdots+\frac{A^n}{n!}+\cdots \eex$$ converges.

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.2.7

The set of all invertible matrices is a dense open subset of the set of all $n\times n$ matrices. The set of all unitary matrices is a compact subset of all $n\times n$ matrices.

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.2.6

If $\sen{A}

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.2.5

Show that matrices with distinct eigenvalues are dense in the space of all $n\times n$ matrices. (Use the Schur triangularisation)   Solution.

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.2.4

(1). The singular value decomposition leads tot eh polar decomposition: Every operator $A$ can be written as $A=UP$, where $U$ is unitary and $P$ is positive.

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.2.3

(1). Let $\sed{A_\al}$ be a family of mutually commuting operators. Then, there exists a common Schur basis for $\sed{A_\al}$.

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.2.2

Show that the following statements are equivalent: (1). $A$ is positive. (2). $A=B^*B$ for some $B$.

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.2.1

For fixed basis of in $\scrH$ and $\scrK$, the matrix $A^*$ is the conjugate transpose of the matrix of $A$.

2014 年第六届全国大学生数学竞赛江西赛区赣南师范学院获奖名单(数学专业)

2014 年第六届全国大学生数学竞赛江西赛区赣南师范学院获奖名单(数学专业)   姓名 性别 学校 所学专业 类别 获奖等级 李秀芹 女 赣南师范学院 数学与应用数学 数学专业 一等奖 杨启明 男 赣南师范学院 数学与应用数学 数学专...

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]Contents

I find it may cost me so much time in doing such solutions to exercises and problems....I am sorry that I could not be persistent in doing it.

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.1.3

Use the QR decomposition to prove Hadamard's inequality: if $X=(x_1,\cdots,x_n)$, then $$\bex |\det X|\leq \prod_{j=1}^n \sen{x_j}.

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.1.2

Let $X$ be nay basis of $\scrH$ and let $Y$ be the basis biorthogonal to it. Using matrix multiplication, $X$ gives a linear transformation from $\bbC^n$ to $\scrH$.

[Bhatia.Matrix Analysis.Solutions to Exercises and Problems]ExI.1.1

Given any $k$-tupel of linearly independent vectors $X$ as above, there exists a $k$-tuple $Y$ biorthognal to it.

[Tex学习笔记]章节用罗马字母编号

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2014年国际数学家大会台历

丁伟岳院士逝世 享年70岁

中国民主建国会会员、中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院研究员、北京大学数学科学学院教授丁伟岳先生因病医治无效，于2014年11月11日在北京不幸逝世，享年70岁。   丁伟岳院士祖籍浙江舟山，1945年4月26日出生于上海市，1968年毕业于北京大学数学力学系，1981年中国科学院数学研究所研究生毕业。

2014年度江西省青年科学家培养对象名单（共36名）

2014年度江西省青年科学家培养对象名单（共36名）   王玉皞 南昌大学 李  璠 南昌大学 王红明 南昌大学 许恒毅 南昌大学 陈  奕 南昌大学 周  猛 ...

Alexander Grothendieck去世了

Alexander Grothendieck (German: [ˈɡroːtn̩diːk]; French: [ɡʁɔtɛndik]; 28 March 1928 – 13 November 2014[1]) was a French[2][3][4] mathematician, born in...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]序言

This book was done during the course of the author's reading ``matrix theory'' by Prof. X.Z. Zhan from 22nd Oct.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.6

6. 举例说明: 存在那样的实方阵 $A$, $A$ 的零元素的个数大于 $A$ 的 Jordan 标准形的零元素的个数.       解答: 想法就是利用第 5 节的 Jordan 标准形的组合刻画.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.5

5. 元素属于 $\sed{0,*}$ 的矩阵称为零模式矩阵. 设 $A$ 是零模式矩阵, 用 $Q_\bbF(A)$ 记元素属于域 $\bbF$ 的具有零模式 $A$ 的矩阵的集合, 即若 $B\in Q_F(A)$, $B=(b_{ij})$, $A=(a_{ij})$, 则 $b_{ij}=0$ 当且仅当 $a_{ij}=0$.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.4

4. 怎样的符号模式要求所有特征值都互不相同呢?       证明: Open problems.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.3

3. 一个 $n$ 阶符号模式方阵 $A$ 称为谱任意模式, 如果每个首一的 $n$ 次实多项式都是 $Q(A)$ 中某个矩阵的特征多项式. 研究谱任意模式.       证明: Open problems.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.2

2. 证明引理 7.13.       证明: 用反证法. 若对任一置换阵 $P$, $PA$ 的对角元都至少有一个为零, 则 $A$ 的每条对角线至少含有一个零元素. 由 Frobenius-K\"onig 定理, $A$ 有一个 $r\times s$ 阶的零子矩阵, $r+s=n+1$.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1

1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明:   (1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为对称矩阵.

2014-2015第一学期听课安排

听课安排 课程 名称 任课 班级 上课 地点 集体听课时间 听课教师   高等代数 1401数本 7-205 第12周  周二12节；周三12节 教研室没课教师   ...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.15

15. (Hu-Li-Zhan) 秩为 $k$ 的 $n$ 阶对称 $0-1$ 矩阵中 $1$ 的个数可能是哪些数呢?       解答: 见 [Q. Hu, Y.Q. Li, X.Z. Zhan, Possible numbers of ones in $0-1$ matrices wit...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩阵.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.13

13. (Sinkhorn) 设 $A$ 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵 $D_1$ 和 $D_2$ 使得 $D_1AD_2$ 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.12

12. 设 $A$ 是个 $n$ 阶振荡矩阵, 则 $A^{n-1}$ 是全面正矩阵.       证明: 我相信可以利用定理 6.27 (Wielandt) 或者其证明思路, 但是目前还没有做出来.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.11

11. (Gasca-Pena) 一个 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 是全面非负的当且仅当对每个 $1\leq k\leq n$, $$\bex \det A[1,2,\cdots,k]>0, \eex$$ $$\bex \det A[\al\mid 1,2,\cdots,k]\geq 0,\quad...

数学物理学报Offprints and Remuneration

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.10

10. 非本原指标为 $k$ 的 $n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢?       解答: 只需利用定理 6.28 (Frobenius), 探讨 $$\bex f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1} \eex$$ 在条件 $$\bex x_i>0,\quad\sum_{i=1}^n x_i=n \eex$$ 下的最小最大值.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.9

9. (Hopf) 将 $n$ 阶正矩阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值按模从大到小排列为 $$\bex \rho(A)>|\lm_2|\geq \cdot \geq |\lm_n|, \eex$$ 并记 $$\bex \al=\max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}, \quad \beta=\min \max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.8

8. 设 $A$ 是个不可约奇异 $M$-矩阵, 则存在正向量 $x$ 满足 $Ax=0$.       证明: 由 $A$ 为 $M$-矩阵知 $$\bex A=cI-B,\quad c\geq \rho(B),\quad B\geq 0.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.7

7. 设 $A$ 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 $p$ 使得 $A^p=0$. 则 $A$ 置换相似于一个上三角矩阵.       证明: 由 $A^p=0$ 知 $\sigma(A)=0$, 而 $\rho(A)=0$.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.6

6. 设 $A$ 是个非负本原方阵, 则 $$\bex \vlm{k} [\rho(A)^{-1}A]^k =xy^T, \eex$$ 其中 $x$ 和 $y$ 分别是 $A$ 和 $A^T$ 的 Perron 根, 满足 $xy^T=1$.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.5

5. (Levinger, 1970) 设 $A$ 是个不可约非负方阵, 则函数 $$\bex f(t)=\rho[tA+(1-t)A^T] \eex$$ 在 $[0,1/2]$ 上递增, 在 $[1/2,1]$ 上递减.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.4

4. 设 $A$ 是个不可约非负方阵, $0\leq t\leq 1$, 则 $$\bex \rho[tA+(1-t)A^T]\geq \rho(A). \eex$$       证明:   (1).

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.3

3. 设 $\lm$ 是一个复数. 证明: 存在非负方阵 $A$ 使得 $\lm$ 是 $A$ 的一个特征值.       证明:   (1). 首先 $A$ 的阶数须 $\geq 3$. 当 $n=1$ 时, 非负方阵的特征值为非负实数.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.2

2. 设 $A$ 是个非负方阵且存在一个正整数 $p$ 使得 $A^p>0$, 则对所有正整数 $q\geq p$, $A^q>0$.       证明: 不妨设 $n\geq 2$. 由定理 6.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负?       解答: 设 $A\geq0$ 可逆, 且其逆 $A^{-1}=B\geq 0$. 则 $$\bex I_n=AB=BA. \eex$$ 对 $A$ 的第 $i$ ($1\leq i\leq n$) 列, 由 $A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0.

无智和无趣是中国当下文化两个最主要的特征

孙  郁 　　图：蔡华伟 　　从庄子的超越，孟子的担当，到司马迁的跌宕恣肆，先贤大家曾以笔墨神采、妙文佳构，伫立不朽的文章传统，或以载道、抒情，或以论理、写意，笔底斑斓、气象万千。

[家里蹲大学数学杂志]第204期矩阵空间的一个直和分解

设 $M_n(\bbF)$ 是数域 $\bbF$ 上 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间, $V,W$ 分别是上三角矩阵、反对称矩阵全体构成的线性子空间, 则 $$\bex M_n(\bbF)=V\oplus W.

[家里蹲大学数学杂志]第235期$L^p$ 调和函数恒为零

设 $u$ 是 $\bbR^n$ 上的调和函数, 且 $$\bex \sen{u}_{L^p}=\sex{\int_{\bbR^n}|u(y)|^p\rd y}^{1/p}

M-矩阵

实方阵 $A$ 称为 $M$-矩阵, 是指 $A=cI-B$, $B\geq 0$, $c\geq \rho(B)$.    这里, $M$ 据说是暗指 Minkowski.

关于数学分支与数学家的一个故事

从前有棵树, 叫高数, 树上挂了很多人 很久很久以前, 在拉格朗日照耀下, 有几座城: 分别是常微分方城和偏微分方城这两座兄弟城, 还有数理方城、随机过城. 从这几座城里流出了几条溪, 比较著名的有: 柯溪、数学分溪、泛函分溪、回归分溪、时间序列分溪等.

二阶偏导相等的一个充分条件

困扰我这么多年的问题终于解决了:为什么爷爷的爸爸和爸爸的爷爷是同一个人，而奶奶的妈妈和妈妈的奶奶却不是同一个人？ 答案：二阶偏导次序不影响结果的前提是导数在区间连续.   [虽然以前看过,但是没有保存]

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5

5. (Friedland) 给定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.4

4. (G.M. Krause) 令 $$\bex \lm_1=1,\quad \lm_2=\frac{4+5\sqrt{3}I}{13},\quad \lm_3=\frac{-1+2\sqrt{3}i}{13},\quad v=\sex{\sqrt{\frac{5}{8}},\frac{1}{2},\sqrt{\frac{1}{8}}}^T.