动态规划套路：最大子数组和 5月25日 【今日算法】

最大子数组问题和前文讲过的 经典动态规划：最长递增子序列 的套路非常相似，代表着一类比较特殊的动态规划问题的思路：

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

思路分析

其实第一次看到这道题，我首先想到的是 滑动窗口算法，因为我们前文说过嘛，滑动窗口算法就是专门处理子串/子数组问题的，这里不就是子数组问题么？

但是，稍加分析就发现，这道题还不能用滑动窗口算法，因为数组中的数字可以是负数。

滑动窗口算法无非就是双指针形成的窗口扫描整个数组/子串，但关键是，你得清楚地知道什么时候应该移动右侧指针来扩大窗口，什么时候移动左侧指针来减小窗口。

而对于这道题目，你想想，当窗口扩大的时候可能遇到负数，窗口中的值也就可能增加也可能减少，这种情况下不知道什么时机去收缩左侧窗口，也就无法求出「最大子数组和」。

解决这个问题需要动态规划技巧，但是dp数组的定义比较特殊。按照我们常规的动态规划思路，一般是这样定义dp数组：

nums[0..i]中的「最大的子数组和」为dp[i]。

如果这样定义的话，整个nums数组的「最大子数组和」就是dp[n-1]。如何找状态转移方程呢？按照数学归纳法，假设我们知道了dp[i-1]，如何推导出dp[i]呢？

如下图，按照我们刚才对dp数组的定义，dp[i] = 5，也就是等于nums[0..i]中的最大子数组和：

那么在上图这种情况中，利用数学归纳法，你能用dp[i]推出dp[i+1]吗？

实际上是不行的，因为子数组一定是连续的，按照我们当前dp数组定义，并不能保证nums[0..i]中的最大子数组与nums[i+1]是相邻的，也就没办法从dp[i]推导出dp[i+1]。

所以说我们这样定义dp数组是不正确的，无法得到合适的状态转移方程。对于这类子数组问题，我们就要重新定义dp数组的含义：

以nums[i]为结尾的「最大子数组和」为dp[i]。

这种定义之下，想得到整个nums数组的「最大子数组和」，不能直接返回dp[n-1]，而需要遍历整个dp数组：

int res = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;

依然使用数学归纳法来找状态转移关系：假设我们已经算出了dp[i-1]，如何推导出dp[i]呢？

可以做到，dp[i]有两种「选择」，要么与前面的相邻子数组连接，形成一个和更大的子数组；要么不与前面的子数组连接，自成一派，自己作为一个子数组。

如何选择？既然要求「最大子数组和」，当然选择结果更大的那个啦：

// 要么自成一派，要么和前面的子数组合并
dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);

综上，我们已经写出了状态转移方程，就可以直接写出解法了：

int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) return 0;
    int[] dp = new int[n];
    // base case
    // 第一个元素前面没有子数组
    dp[0] = nums[0];
    // 状态转移方程
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
    }
    // 得到 nums 的最大子数组
    int res = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res = Math.max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}

以上解法时间复杂度是 O(N)，空间复杂度也是 O(N)，较暴力解法已经很优秀了，不过注意到dp[i]仅仅和dp[i-1]的状态有关，那么我们可以进行「状态压缩」，将空间复杂度降低：

int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) return 0;
    // base case
    int dp_0 = nums[0];
    int dp_1 = 0, res = dp_0;

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i-1])
        dp_1 = Math.max(nums[i], nums[i] + dp_0);
        dp_0 = dp_1;
        // 顺便计算最大的结果
        res = Math.max(res, dp_1);
    }

    return res;
}

最后总结

虽然说动态规划推状态转移方程确实比较玄学，但大部分还是有些规律可循的。

今天这道「最大子数组和」就和「最长递增子序列」非常类似，dp数组的定义是「以nums[i]为结尾的最大子数组和/最长递增子序列为dp[i]」。因为只有这样定义才能将dp[i+1]和dp[i]建立起联系，利用数学归纳法写出状态转移方程。

来源 | github

作者 | labuladong