一、DNN泛化能力的问题
论文主要探讨的是， 为什么过参数的神经网络模型还能有不错的泛化性？即并不是简单记忆训练集，而是从训练集中总结出一个通用的规律，从而可以适配于测试集（泛化能力）。
以经典的决策树模型为例， 当树模型学习数据集的通用规律时：一种好的情况，假如树第一个分裂节点时，刚好就可以良好区分开不同标签的样本，深度很小，相应的各叶子上面的样本数是够的（即统计规律的数据量的依据也是比较多的），那这会得到的规律就更有可能泛化到其他数据。（即：拟合良好， 有泛化能力）。
另外一种较差的情况，如果树学习不好一些通用的规律，为了学习这个数据集，那树就会越来越深，可能每个叶子节点分别对应着少数样本（少数据带来统计信息可能只是噪音），最后，死记硬背地记住所有数据（即：过拟合 无泛化能力）。我们可以看到过深（depth）的树模型很容易过拟合。
那么过参数化的神经网络如何达到良好的泛化性呢？
二、 DNN泛化能力的原因
本文是从一个简单通用的角度解释——在神经网络的梯度下降优化过程上，探索泛化能力的原因：
我们总结了梯度相干理论 ：来自不同样本的梯度产生相干性，是神经网络能有良好的泛化能力原因。当不同样本的梯度在训练过程中对齐良好，即当它们相干时，梯度下降是稳定的，可以很快收敛，并且由此产生的模型可以有良好的泛化性。否则，如果样本太少或训练时间过长，可能无法泛化。
基于该理论，我们可以做出如下解释。
2.1 宽度神经网络的泛化性
更宽的神经网络模型具有良好的泛化能力。这是因为，更宽的网络都有更多的子网络，对比小网络更有产生梯度相干的可能，从而有更好的泛化性。换句话说，梯度下降是一个优先考虑泛化（相干性）梯度的特征选择器，更广泛的网络可能仅仅因为它们有更多的特征而具有更好的特征。
论文原文：Generalization and width. Neyshabur et al. [2018b] found that wider networks generalize better. Can we now explain this? Intuitively, wider networks have more sub-networks at any given level, and so the sub-network with maximum coherence in a wider network may be more coherent than its counterpart in a thinner network, and hence generalize better. In other words, since—as discussed in Section 10—gradient descent is a feature selector that prioritizes well-generalizing (coherent) features, wider networks are likely to have better features simply because they have more features. In this connection, see also the Lottery Ticket Hypothesis [Frankle and Carbin, 2018]
但是个人觉得，这还是要区分下网络输入层/隐藏层的宽度。特别对于数据挖掘任务的输入层，由于输入特征是通常是人工设计的，需要考虑下做下特征选择（即减少输入层宽度），不然直接输入特征噪音，对于梯度相干性影响不也是有干扰的。
2.2 深度神经网络的泛化性
越深的网络，梯度相干现象被放大，有更好的泛化能力。
在深度模型中，由于层之间的反馈加强了有相干性的梯度，存在相干性梯度的特征(W6)和非相干梯度的特征（W1）之间的相对差异在训练过程中呈指数放大。从而使得更深的网络更偏好相干梯度，从而更好泛化能力。
2.3 早停（early-stopping）
通过早停我们可以减少非相干梯度的过多影响，提高泛化性。
在训练的时候，一些容易样本比其他样本（困难样本）更早地拟合。训练前期，这些容易样本的相干梯度做主导，并很容易拟合好。训练后期，以困难样本的非相干梯度主导了平均梯度g（wt），从而导致泛化能力变差，这个时候就需要早停。
（注：简单的样本，是那些在数据集里面有很多梯度共同点的样本，正由于这个原因，大多数梯度对它有益，收敛也比较快。）
2.4 全梯度下降 VS 学习率
我们发现全梯度下降也可以有很好的泛化能力。此外，仔细的实验表明随机梯度下降并不一定有更优的泛化，但这并不排除随机梯度更易跳出局部最小值、起着正则化等的可能性。
Based on our theory, finite learning rate, and mini-batch stochasticity are not necessary for generalization
我们认为较低的学习率可能无法降低泛化误差，因为较低的学习率意味着更多的迭代次数（与早停相反）。
Assuming a small enough learning rate, as training progresses, the generalization gap cannot decrease. This follows from the iterative stability analysis of training: with 40 more steps, stability can only degrade. If this is violated in a practical setting, it would point to an interesting limitation of the theory
2.5 L2、L1正则化
目标函数加入L2、L1正则化，相应的梯度计算， L1正则项需增加的梯度为sign(w) ，L2梯度为w。以L2正则为例，相应的梯度W(i+1)更新公式为：
我们可以把“L2正则化(权重衰减)”看作是一种“背景力”，可将每个参数推近于数据无关的零值 （ L1容易得到稀疏解，L2容易得到趋近0的平滑解) ，来消除在弱梯度方向上影响。只有在相干梯度方向的情况下，参数才比较能脱离“背景力”，基于数据完成梯度更新。
2.6 梯度下降算法的进阶
- Momentum 、Adam等梯度下降算法
Momentum 、Adam等梯度下降算法，其参数W更新方向不仅由当前的梯度决定，也与此前累积的梯度方向有关（即，保留累积的相干梯度的作用）。这使得参数中那些梯度方向变化不大的维度可以加速更新，并减少梯度方向变化较大的维度上的更新幅度，由此产生了加速收敛和减小震荡的效果。
- 抑制弱梯度方向的梯度下降
我们可以通过优化批次梯度下降算法，来抑制弱梯度方向的梯度更新，进一步提高了泛化能力。比如，我们可以使用梯度截断（winsorized gradient descent），排除梯度异常值后的再取平均值。或者取梯度的中位数代替平均值，以减少梯度异常值的影响。
小结
文末说两句，对于深度学习的理论，有兴趣可以看下论文提及的相关研究。个人水平有限，不足之处还望指教，有什么见解，欢迎学习群相互讨论下。
