逻辑回归（Logistic Regression）是一种统计机器学习方法，简单易用，却涉及很多知识点。正所谓麻雀虽小，五脏俱全。
大多数教程都是从定义和原理出发，来讲解逻辑回归，容易显得晦涩难懂。本文将结合实例和图示，帮助读者在7分钟内搞懂逻辑回归算法。
1、功能
逻辑回归一般用于二分类任务，并能给出两个类的相应概率。
常见的应用包括垃圾邮件判别、银行判断是否给用户贷款等等。当然，二分类问题可以扩展到多分类问题。
做二分类任务，最简单的判别函数是阶跃函数，如下图红线所示。当时判断为正类（1），反之为负类（0）。
但阶跃函数不连续，过于“死板”，不便于后续求导优化。因此用logistic function（上图黑线）代替，因为呈现“S”形，也称为 sigmoid function，对应公式：
定义域为整个实数集合，值域为0～1，相当于概率值。
2、为何不叫逻辑分类？
既然是做分类任务，为什么不叫它“逻辑分类”呢？
首先，“逻辑”指的是“logistic”（音译），“回归”来源于线性回归的 ，使用线性回归去拟合逼近一个决策边界，使得按照这个边界进行数据分类后的总损失最小。
以概率0.5作为界线，将数据分为正例和反例。当 
，对应正例（趋近于概率1）；当 
，对应负例（趋近于概率0）。
这是在使用回归的思想去解决分类问题，所以称为逻辑回归。等价于在线性回归外包裹了一层sigmoid函数，将离散值映射为0和1之间的概率，以0.5为界。
3、核心问题
理解逻辑回归的一个核心问题是，如何求解决策边界
?
对于二维输入样本点，z 等价于：
求最优决策边界，等价于求 
的值。当样本的真实标签 
是1和0时，我们分别定义一个损失函数：
以 
为例，当模型的预测值 
趋向1时，损失函数取值也应该越来越小；反之，当 
趋向0时，损失函数值越来越大，可以通过函数 
体现。模型的训练目的是尽可能减小损失，所以会让输出值朝着1的方向学习。是否可以将两类的cost函数合并到一块，方便计算总损失呢？
通过一个“聪明”的对数似然函数，我们达到了目的：
其中： 
对于下图的样本点，绿线是决策边界。绿线上部 
，距离绿线越远 
越大，预测值 
越接近1。
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4、求解边界
明确了损失函数后，我们来计算模型参数的最优值。首先需要计算cost对参数 
的导数，再借助梯度下降等算法微调参数值，不断逼近最优解。
假设我们有10个样本点，每个样本包含3个特征，则 
维度为[10, 3]， 
维度为[3, 1]，
的维度为[10, 1]。
损失函数：
cost的维度也是[10, 1]。cost和H相关，H和Z相关，Z和WX相关，存在关系映射：cost~H~Z~X。根据链式求导法则，整个计算过程如下：
最终的结果是： 
，维度是[3, 1]，即参数 
。
5、梯度下降法
刚刚我们使用了梯度下降法迭代求解最优的 ，一共分为3步：
- 初始化
- 更新
: 
- 迭代到一定次数或阈值，结束
当cost函数是凸函数时，可以保证cost降到全局最小，否则可能只走到局部最小。
在cost不断减小的过程中，将求得最优的分界线。
使用逻辑回归，我们可以使用python、C++等语言自己实现，或借助机器学习工具包Sklearn中的接口 LogisticRegression [2]。
现在，大家是不是理解了逻辑回归的思想呢？如有疑问，欢迎交流！
