1、什么是K近邻算法
K近邻算法（KNN）是一种常用的分类和回归方法，它的基本思想是从训练集中寻找和输入样本最相似的k个样本，如果这k个样本中的大多数属于某一个类别，则输入的样本也属于这个类别。
关于KNN算法，一个核心问题是：如何快速从数据集中找到和目标样本最接近的K个样本？
本文将从这个角度切入，介绍常用的K近邻算法的实现方法。具体将从原理、使用方法、时间开销和准确率对比等方面进行分析和实验。
2、距离度量
在介绍具体算法之前，我们先简单回顾一下KNN算法的三要素：距离度量、k值的选择和分类决策规则。
其中机器学习领域常用的距离度量方法，有欧式距离、余弦距离、曼哈顿距离、dot内积等
主流的近邻算法都支持上述不同的距离度量。其中n维特征空间的a、b向量的欧式距离 
体现数值上的绝对差异，而余弦距离基于余弦相似度（两个向量间夹角的余弦值），体现方向上的相对差异。如果对向量做归一化处理，二者的结果基本是等价的。
实际应用中，需要根据业务目标来选择合适的度量方法。
3、K近邻算法的实现方法
K近邻的实现方式多达数十种，笔者从中挑选了几种常用、经典的方法作为分析案例。
首先最直观的想法（暴力法），是线性扫描法。将待预测样本和候选样本逐一比对，最终挑选出距离最接近的k个样本即可，时间复杂度O(n)。对于样本数量较少的情况，这种方法简单稳定，已经能有不错的效果。但是数据规模较大时，时间开销严重无法接受。
所以实际应用中，往往会寻找其他类型的数据结构来保存特征，以降低搜索的时间复杂度。
常用的存储结构可以分为树和图两大类。树结构的代表是KDTree，以及改进版BallTree和Annoy等；基于图结构的搜索算法有HNSW等。
4、KDTree和BallTree
KDTree
kd 树是一种对k维特征空间中的实例点进行存储以便对其快速检索的树形数据结构。
kd树是二叉树，核心思想是对 k 维特征空间不断切分（假设特征维度是768，对于(0,1,2,...,767)中的每一个维度，以中值递归切分）构造的树，每一个节点是一个超矩形，小于结点的样本划分到左子树，大于结点的样本划分到右子树。
树构造完毕后，最终检索时（1）从根结点出发，递归地向下访问kd树。若目标点 
当前维的坐标小于切分点的坐标，移动到左子树，否则移动到右子树，直至到达叶结点；（2）以此叶结点为“最近点”，递归地向上回退，查找该结点的兄弟结点中是否存在更近的点，若存在则更新“最近点”，否则回退；未到达根结点时继续执行（2）；（3）回退到根结点时，搜索结束。
kd树在维数小于20时效率最高，一般适用于训练实例数远大于空间维数时的k近邻搜索；当空间维数接近训练实例数时，它的效率会迅速下降，几乎接近线形扫描。
BallTree
为了解决kd树在样本特征维度很高时效率低下的问题，研究人员提出了“球树“BallTree。KD 树沿坐标轴分割数据，BallTree将在一系列嵌套的超球面上分割数据，即使用超球面而不是超矩形划分区域。
具体而言，BallTree 将数据递归地划分到由质心 C 和 半径 r 定义的节点上，以使得节点内的每个点都位于由质心C和半径 r 定义的超球面内。通过使用三角不等式 
减少近邻搜索的候选点数。
coding 实验
以下实验均在CLUE下的今日头条短文本分类数据集上进行，训练集规模：53360条短文本。
实验环境：Ubuntu 16.04.6，CPU: 126G/20核，python 3.6
requirement：scikit-learn、annoy、hnswlib
实验中我使用了bert-as-service服务将文本统一编码为768维度的特征向量，作为近邻搜索算法的输入特征。
tnews数据集demo
工具包sklearn提供了统一的kdtree和balltree使用接口，可以用一行代码传入特征集合、距离度量方式。
为了减少推理时间，我这里仅选取验证集中前200条文本作为演示。
观察实验发现，以欧式距离为度量标准，从5w条知识库中查找和输入文本最接近的top3，200条验证集中kd树和球树均正确检索出153条，但是kd树检索200条花费了37秒（185ms/条），球树花费15秒（75ms/条），balltree的检索时间比kdtree快了1倍以上。
5、Annoy
annoy全称“Approximate Nearest Neighbors Oh Yeah”，是一种适合实际应用的快速相似查找算法。Annoy 同样通过建立一个二叉树来使得每个点查找时间复杂度是O(log n)，和kd树不同的是，annoy没有对k维特征进行切分。
annoy的每一次空间划分，可以看作聚类数为2的KMeans过程。收敛后在产生的两个聚类中心连线之间建立一条垂线（图中的黑线），把数据空间划分为两部分。
在划分的子空间内不停的递归迭代继续划分，直到每个子空间最多只剩下K个数据节点，划分结束。
最终生成的二叉树具有如下类似结构，二叉树底层是叶子节点记录原始数据节点，其他中间节点记录的是分割超平面的信息。
查询过程和kd树类似，先从根向叶子结点递归查找，再向上回溯即可，完整构建、查找过程可以参考快速计算距离Annoy算法。
coding 实验
annoy包封装了算法调用的python接口，底层经C++优化实现。继续使用头条文本数据集，调用方法如下：
首先构建一个“AnnoyIndex”索引对象，需指定特征维度和距离度量标准（支持多种距离度量方式），并将所有数据集样本特征顺序添加到索引对象中。
之后需要在 build(n_trees) 接口中指定棵数。annoy通过构建一个森林（类似随机森林的思想）来提高查询的精准度，减少方差。构建完成后，我们可以将annoy索引文件保存到本地，之后使用时可以直接载入。（完整说明文档参考annoy的github仓库）
最后，我们对输入的200条文本依次查找top3近邻。
我们发现，正确查找的样本数和之前相差不大（153 -> 149），但是查找速度从之前的15秒（75ms/条）降到了0.08秒（0.4ms/条），提升了100倍以上，达到了实际开发中的延时要求。
最后提一点，annoy接口中一般需要调整的参数有两个：查找返回的topk近邻和树的个数。一般树越多，精准率越高但是对内存的开销也越大，需要权衡取舍（tradeoff）。
6、HNSW
和前几种算法不同，HNSW（Hierarchcal Navigable Small World graphs）是基于图存储的数据结构。
图查找的朴素思想
假设我们现在有13个2维数据向量，我们把这些向量放在了一个平面直角坐标系内，隐去坐标系刻度，它们的位置关系如上图所示。朴素查找法：不少人脑子里都冒出过这样的朴素想法，把某些点和点之间连上线，构成一个查找图，存储备用；当我想查找与粉色点最近的一点时，我从任意一个黑色点出发，计算它和粉色点的距离，与这个任意黑色点有连接关系的点我们称之为“友点”（直译），然后我要计算这个黑色点的所有“友点”与粉色点的距离，从所有“友点”中选出与粉色点最近的一个点，把这个点作为下一个进入点，继续按照上面的步骤查找下去。如果当前黑色点对粉色点的距离比所有“友点”都近，终止查找，这个黑色点就是我们要找的离粉色点最近的点。
HNSW算法就是对上述朴素思想的改进和优化。为了达到快速搜索的目标，hnsw算法在构建图时还至少要满足如下要求：1）图中每个点都有“友点”；2）相近的点都互为“友点”；3）图中所有连线的数量最少；4）配有高速公路机制的构图法。
HNSW低配版NSW论文中配了这样一张图，短黑线是近邻点连线，长红线是“高速公路机制”，如此可以大幅减少平均搜索的路径长度。
在NSW基础之上，HNSW加入了跳表结构做了进一步优化。最底层是所有数据点，每一个点都有50%概率进入上一层的有序链表。这样可以保证表层是“高速通道”，底层是精细查找。通过层状结构，将边按特征半径进行分层，使每个顶点在所有层中平均度数变为常数，从而将NSW的计算复杂度由多重对数复杂度降到了对数复杂度。
关于HNSW的详细内容可以参考原论文Efficient and robust approximate nearest neighbor search using Hierarchical Navigable Small World graphs和博客HNSW算法理论的来龙去脉。
coding 实验
通过 hnswlib 库，可以方便地调用hnsw算法。
同样，首先将输入特征载入索引模型并保存到本地，下一次可以直接载入内容。具体测试实验：
最终，预测200条样本耗时0.05秒（0.25ms/条），速度优于annoy。
此外，同样的53360条特征向量（768维度），保存为静态索引文件后 ann 索引的大小是227MB，hnsw索引是171MB，从这一点看hnsw也略胜一筹，可以节约部分内存。
参数设置中，ef表示最近邻动态列表的大小（需要大于查找的topk），M表示每个结点的“友点”数，是平衡时间/准确率的超参数。可以根据服务器资源和查找的召回率等，做相应调整。
7、小结
本文介绍了几种常用的k近邻查找算法，kdtree是KNN的一种基本实现算法；考虑到并发、延时等要素，annoy、hnsw是可以在实际业务中落地的算法，其中bert/sentence-bert+hnsw的组合会有不错的召回效果。
除此之外，还有众多近邻算法。感兴趣的同学可以阅读相关论文做进一步研究。
