🔥1.背景小故事

          小兔子兔八哥家里有超级多的萝卜坑，每个坑里都有一定的萝卜数量。兔八哥的妈妈为了考验兔八哥，要求每次给它两个坑位x和y，让它在一定时间内告诉自己从x坑到y坑一共有多少个萝卜呢？兔八哥每次都要跑到坑位x数有多少个萝卜，再跑去x+1坑位....直到y，当他兴高采烈的得到答案回家时，妈妈却告诉它——你超时啦！

          为什么会超时呢？

       兔八哥冥思苦想这个问题，每次自己都跑去萝卜坑一个个数，真是太笨了，为什么不拿个本子去记下来呢？兔八哥懊恼的拍了拍脑袋，可是再一想，每次妈妈给定x，y。我还是得用坑x+坑x+1+坑x+2一直到坑y。这太慢了！妥妥的O(n)的时间复杂度。

          直到兔八哥的朋友小黑兔来了以后，兔八哥向他说了自己的烦恼，小黑说这还不简单？于是两人拿了本子去了萝卜坑。先用数组a记录了每个萝卜坑的数量，a[i]表示第i个坑的萝卜数量。然后小黑一阵计算以后给了兔八哥一个数组S，告诉小黑告诉兔八哥每次妈妈告诉你x和y后，用S[y]-S[x-1]就是答案啦。

         兔八哥照做以后，在妈妈念出x和y后下一秒就能给出答案，妥妥的O（1）时间复杂度。而这个神秘的数组S——就是前缀和数组！

🔆 2.什么是前缀和数组？

         其实通过背景小故事，就能很清楚的感受到什么是前缀和数组，以及它的使用场景。它是一种通过对原静态数组预处理得到一个数组，该数组可以用于快速求出原数组的一段区间和。

     原数组a[i]的含义——第i个元素的值

     a[i]的前缀和数组s[i]的含义——数组a中前i个元素的和

      如该图，上面的数组为原数组，则下面的数组为改数组对应的前缀和数组。

😾3.如何预处理得到前缀和数组

         首先，我们要知道，前缀和数组s的下标含义s[i]是前i个元素之和。则s[i-1]的含义是前i-1个元素之和，此时我们在s[i-1]的基础上，所以我们可以得知：

        但要注意一个问题，一般我们的前缀和数组s[0]一定是等于0的，代表前0个元素之和为0。而且也是为了防止出现下标越界的问题，比如当公式内i等于0时，后面就会出现越界。

       还有一个很重要的问题。

       这个预处理公式并不是一成不变的，这是因为原数组的首位数有可能是下标从0开始，也有可能下标从1开始。当下标从0开始时，原数组第i个元素是a[i-1]，当下标从1开始时，原数组第i个元素是a[i]。

       所以在原数组下标为1的情况下，求前缀和的公式也可能是这样：

       大家应该灵活变通。

🎃 4.前缀和数组的使用

        我们通过预处理得到了前缀和数组，那么如何使用它呢？

        我们还是通过前缀和的含义出发，假设我们要得到第x个元素到第y个元素之和。而s[y]的值是前y个元素之和，s[x-1]的含义是前n-1个元素之和，两者作差即可得到第x个元素到第y个元素之和。

   公式为：

       这里也体现了为什么前缀和的下标要从1开始，如果从0开始，那么在x-1时又容易产生越界问题。

🍋5.前缀和模板题练习

1）、区域和检索

题目链接：区域和检索https://leetcode.cn/problems/range-sum-query-immutable/

            实打实的一维前缀和裸题，我们以arr为前缀和数组，先预处理好，然后直接在函数中使用即可，注意这里给定的原数组下标是从0开始。        

class NumArray {
    int[] arr;
    public NumArray(int[] nums) {
        int n=nums.length;
        arr=new int[n+1];
        for(int i=0;i<n;i++){
            arr[i+1]=arr[i]+nums[i];
        }
    }
    public int sumRange(int left, int right) {
        return arr[right+1]-arr[left];
    }
}

2）、连续的子数组和

题目链接：连续的子数组和https://leetcode.cn/problems/continuous-subarray-sum/                

          题目分析，首先我们要知道同余定理。也就是：

           如果我们想找到一段子数组的和是k的倍数，也就说明我们要在前缀和数组中找到两个和为a和b的满足以上式子的关系，同时得保证两者的距离不能小于2。由于是回答是否存在，不需要找出具体的子数组，所以我们可以用set存储前缀和数组中每个元素对k取余的值。

           代码转换：

class Solution {
    public boolean checkSubarraySum(int[] nums, int k) {
        int n=nums.length;
        if(n<2) return false;
        int[] arr=new int[n+1];
        for(int i=0;i<n;++i){
            arr[i+1]=arr[i]+nums[i];
        }
        Set<Integer> set=new HashSet<>();
        for(int i=2;i<n+1;i++){
            set.add(arr[i-2]%k);
            if (set.contains(arr[i]%k)) return true;
        }
        return false;
}
}

3）、连续数组

给定一个二进制数组 nums , 找到含有相同数量的 0 和 1 的最长连续子数组，并返回该子数组的长度。

题目链接：连续数组 https://leetcode.cn/problems/contiguous-array/              

             这道题虽然不是前缀和裸题，却是运用了前缀和的思想，我们知道：数组中只有0和1两个数字，如果我们用变量count记录，遇到0时count--，遇到1时count++。如果一段区间0和1的个数一样，那么count在这两个位置的值就一样，我们用Map来记录，count值为key，下标为value。当遍历到某个位置时，如果前面某个位置的count值和此时位置一样，说明两点区间的0和1个数一样，更新答案的最大值。

class Solution {
    Map<Integer,Integer> map=new HashMap();
    //记录答案
    int res=0;
    int count=0;
    public int findMaxLength(int[] a) {
        int n=a.length;
        map.put(0,-1);
        for(int i=0;i<n;++i){
            if(a[i]==0) --count;
            else count++;
            if(map.containsKey(count)){
                res=Math.max(res,i-map.get(count));
            }else{
                map.put(count,i);
            }
        }
        return res;
    }
}