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TOP.堆排序前言
什么是堆排序？假如给你下面的代码让你完善堆排序，你会怎么写？你会怎么排？
void HeapSort(int* a, int n) { } int main() { int arr[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 }; int sz = sizeof(arr) / sizoef(arr[0]); HeapSort(arr, sz); return 0; }
堆排序就是利用堆这个数据结构，对一组数据进行排序。
所以说，堆排序整体分两步完成。
第一步，建堆
第二步，进行排序
注意：以下代码针对的是对一组 数据 排升序
一、向下调整堆排序
对的，向下调整方法，是最优秀的堆排序。
不是太想介绍那种向上调整拉胯的堆排序，我们经常用的是这种优秀的向下排序。
二者区别在于建堆的方法不同。一个是向下建堆O(N)，一个是向上建堆O(N*logN)。
具体证明用到了高中 简单的数列公式。
1.向下调整建堆
建堆的技巧
向下建堆也有两种情况。
1.建大堆
2.建小堆
那么到底建大堆还是小堆呢？
解释：建堆在于你是想要排升序，还是排降序。假如建的大堆，因为堆顶的数是最大的，在我们对堆 向下调整排序时，这时候每次都需要把最大的交换到堆底。所以导致最后堆的顺序是升序。
建大堆前
建大堆后
向下调整排序后
此时数组就有序了。
结论：实质是在数组上建堆。排升序建大堆，排降序建小堆
建堆思路代码
思路：
因为叶子结点本身就是一个大堆，所以从最后一个叶子结点的父亲结点开始进行向下建堆。这样就能够保证每次建的堆都是大堆。
注意：
1.注意循环结束条件，和if语句里的边界问题child + 1 < n
2.注意完全二叉树父子关系公式
#include <stdio.h> //交换 void swap(int* x, int* y) { int t = 0; t = *x; *x = *y; *y = t; } //向下调整 void AdjustDown(int* a, int n, int root) { int parent = root; int child = parent * 2 + 1; while (child < n) { //每次调整都需要从左右两边选出孩子最大的那个 //假设坐孩子较大，选出左右孩子大的那个 if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) { ++child; } //开始调整。 if (a[child] > a[parent]) { swap(&a[child], &a[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } //不满足就跳出，开始下次for循环调整。 else { break; } } } void HeapSort(int* a, int n) { //向下调整建堆 int i = 0; for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(a, n, i); } } int main() { int arr[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 }; int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); HeapSort(arr, sz); return 0; }
2.向下调整排序
调整思路
1.从堆底依次 和 堆顶的数据进行交换。
2.对交换后的 堆顶的值 进行向下调整。向下调整时请无视交换到堆底那个最大的值。
3.继续循环第一步和第二步，直到到正数第二个数结束。
排序整体代码
void swap(int* x, int* y) { int t = 0; t = *x; *x = *y; *y = t; } void AdjustDown(int* a, int n, int root) { int parent = root; int child = parent * 2 + 1; while (child < n) { //每次调整都需要从左右两边选出孩子最大的那个 //假设坐孩子较大，选出左右孩子大的那个 if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) { ++child; } //开始调整。 if (a[child] > a[parent]) { swap(&a[child], &a[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } //不满足就跳出，开始下次for循环调整。 else { break; } } } void HeapSort(int* a, int n) { //向下调整建堆 int i = 0; for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(a, n, i); } //向下调整排序 int end = 0; for (end = n-1; end > 0; end--) { swap(&a[0], &a[end]); //向下调整时无视最大的那个值，所以end是n-1。 AdjustDown(a, end, 0); } } int main() { int arr[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 }; int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); HeapSort(arr, sz); return 0; }
3.时间复杂度(难点)
向下建堆O(N)
//向下调整建堆 int i = 0; for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(a, n, i); }
很多人的误区在于他的时间复杂度是N*Log2N。这是错误的。
时间复杂度的计算是看思想，而不是看循环猜测。
当是满二叉树，在最坏的情况下，除了最后一层，上面所有层都需要进行向下调整。
最坏情况下的调整次数 = 每层数据个数 * 向下调整次数
第一层向下调整次数是h-1，节点个数是21-1
第二层向下调整次数是h-2, 节点个数是22-1
第h-1层向下调整次数是1,节点个数是2h-1-1
所以总的调整次数为n：
n = 20*(h-1) + 21 *(h-2)+… + 2h-1-1 *(1)
根据高中错位相减得到
n = 1−h+21+22+…+2h−2+2h−1
由等比数列前n项和得到
n = 2h−h−1
由二叉树性质N=2h−1和 h = log2(N+1) 得到
n=N−log2(N+1)
大O渐进表示法为n= O(N)
向下调整(N*LogN)
需要向下调整n-1次。每次需要调整的高度为LogN，N为节点的个数，因为节点个数每次少一个。
所以n-1次调整总次数 = log2+log3+…+log(n-1)+log(n)≈log(n!)
由数学知识得log(n!)和nlog(n)是同阶函数。
所以向下调整排序时间复杂度为N*LogN
所以堆排序时间复杂度为：N + N*LogN
大O渐进表示法为:O(N*LogN)
总结：堆排序时间复杂度 O(N*LogN)
二、向上调整堆排序
向上调整排序和向下调整排序的唯一不同在于建堆的不同，导致二者的建堆的时间复杂度略微不同。
1.向上调整建堆
向上调整建堆时间复杂度为N*LogN.
具体原因还需要经过残酷的数学计算。孩子不会啊。但是经过网上查阅资料我又找到了计算方法。如图。
根据二叉树的性质：h = Log2(N+1)
可以将T(h) = 2h * (h-2) + 2换为：
所以总体来说就是向上调整的建堆时间复杂度为O(N * LogN).
2.建堆代码
思路：从第二个元素开始，只关注前两个元素建堆，然后再依次增加元素建堆，使它一直为堆。
向上调整建堆虽然时间复杂度略高，但是代码相对于向下调整简单一点点。
void AdjustUp(int* a, int child) { //先把父亲节点表示出来。 int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { //比较孩子和父亲，开始向上调整。 if (a[child] > a[parent]) { swap(&a[child], &a[parent]); child = parent; parent = (child - 1) / 2; } else { break; } } }
