780. 到达终点 : 数论推理分析题

题目描述

这是 LeetCode 上的 780. 到达终点 ，难度为 困难。

Tag : 「数学」

给定四个整数 sx，sy，tx 和 ty，如果通过一系列的转换可以从起点 (sx, sy)(sx,sy) 到达终点 (tx, ty)(tx,ty)，则返回 true，否则返回 false。

从点 (x, y)(x,y) 可以转换到 (x, x+y)(x,x+y)  或者 (x+y, y)(x+y,y)。

示例 1:

输入: sx = 1, sy = 1, tx = 3, ty = 5
输出: true
解释:
可以通过以下一系列转换从起点转换到终点：
(1, 1) -> (1, 2)
(1, 2) -> (3, 2)
(3, 2) -> (3, 5)
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示例 2:

输入: sx = 1, sy = 1, tx = 2, ty = 2 
输出: false
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示例 3:

输入: sx = 1, sy = 1, tx = 1, ty = 1 
输出: true
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提示:

• 1 <= sx, sy, tx, ty <= 10^91<=sx,sy,tx,ty<=109

数学

给定的 (sx, sy)(sx,sy) 的数据范围为 [1, 10^9][1,109]（即均为正整数），且每次转换，只能将另外一维的数值累加到当前维，因此对于每一维的数值而言，随着转换次数的进行，呈（非严格）递增趋势，再结合起始值为正整数，可知在转换过程中均不会出现负数。

由此得知从 (tx, ty)(tx,ty) 到 (sx, sy)(sx,sy) 的转换过程唯一确定：总是取较大数减去较小数来进行反推（否则会出现负数）。

但即使反向转换唯一确定，数据范围为 10^9109，线性模拟仍会超时。

我们考虑将「相同操作的连续段转换动作」进行合并，在某次反向转换中，如果有 tx < tytx<ty，我们会将 (tx, ty)(tx,ty) 转换为 (tx, ty - tx)(tx,ty−tx)，若相减完仍有 tx < ty - txtx<ty−tx，该操作会继续进行，得到 (tx, ty - 2 * tx)(tx,ty−2∗tx)，直到不满足 tx < ty - k * txtx<ty−k∗tx，其中 kk 为转换次数。

即对于一般性的情况而言，(tx, ty)(tx,ty) 中的较大数会一直消减到「与较小数的余数」为止。

因此我们可以先使用 O(\log{max(tx, ty)})O(logmax(tx,ty)) 的复杂度将其消减到不超过 (sx, sy)(sx,sy) 为止。此时如果消减后的结果 (tx, ty)(tx,ty) 任一维度小于 (sx, sy)(sx,sy)，必然不能进行转换，返回 False；如果任一维度相等（假定是 xx 维度），则检查另一维度（yy 维度）的差值，能够由当前维度（xx 维度）拼凑而来。

代码：

class Solution {
    public boolean reachingPoints(int sx, int sy, int tx, int ty) {
        while (sx < tx && sy < ty) {
            if (tx < ty) ty %= tx;
            else tx %= ty;
        }
        if (tx < sx || ty < sy) return false;
        return sx == tx ? (ty - sy) % tx == 0 : (tx - sx) % ty == 0;
    }
}
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• 时间复杂度：O(\log{\max(tx, ty)})O(logmax(tx,ty))
• 空间复杂度：O(1)O(1)

最后

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