背包问题简介
背包问题（Knapsack problem） 是一种组合优化的 NP 完全问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
而目前的背包问题大致可以分为九解，俗称背包九解。而今天给大家带来比较常见的几种背包问题的秒杀模板！！！
常见的背包类型主要有以下几种：
1、0/1背包问题：每个元素最多选取一次
2、完全背包问题：每个元素可以重复选择
3、组合背包问题：背包中的物品要考虑顺序
4、分组背包问题：不止一个背包，需要遍历每个背包
且每个背包的要求也是不同的，经常会有一下一些问题：
最大/小值问题。
是否存在问题。
组合问题。
而这些问题基本上是涵盖了很多背包问题，所以本篇文章就带大家来透过迷雾看本质！！！
本篇文章时博主站在巨人们的肩膀上整理出来文章。如果哪个地方不足，还请大佬们斧正，我将不尽感激！！
01背包简介：
01背包是背包问题中入门的一个背包问题，一般01背包是每个元素最多选取一次。
我们来看一个最最最经典的01背包习题：
也就说这个背包是最经典入门问题，我们先来看一下它的二维数组的解题模板。
Python版本：
def a(item,cap): #创建一个二维数组 key = [[0 for _ in range(cap + 1)] for _ in range(len(item) + 1)] #进行循环判断 for y in range(1,len(item) +1): #记录每个物品的重量和价值 value = item[y-1][0] weight = item[y-1][1] #循环背包容量 for x in range(cap+1): #如果背包容量大于该物品重量，进行判断原来的背包价值，和加上这个物品后价值的比较取最大值。 if x >= weight: key[y][x] = max(key[y-1][x] , key[y-1][x - weight]+value) #如果小于，就直接继承上面的值。 else:key[y][x] = key[y-1][x] return key[-1][-1] item = [[1,2],[4,3],[5,6],[6,7]] cap = 10 print(a(item,cap))
Java版本：
class Solution { public int Beibao(int[] c, int a) { int[][] dp = new int[c.length + 1][a + 1]; for (int i = 0 ; i < c.length ; i ++){ value = c[i][0]; weight = c[i][1]; for (int j = 1 ; j < a + 1 ; j ++){ if (j >= weight){ dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - weight] +value , dp[i - 1][j]) ; } else{ dp[i][j] = dp[i - 1][j]; } } } return dp[-1][-1]; } }
OK，我们是看过了上面的二维模板，其实我们能进行一个优化，将其转化为一维的dp空间。转换的时候第二个循环需要倒序，这个是一个对初学者比较难理解的问题，博主建议大家可以去B站找一个视频看一下动态的讲解。
一维模板：
Python版：
def a(item,cap): #创建一个二维数组 key = [0 for _ in range(cap + 1)] #进行循环判断 for y in range(1,len(item) +1): #记录每个物品的重量和价值 value = item[y-1][0] weight = item[y-1][1] #循环背包容量,倒序记着 for x in range(cap,-1,-1): #如果背包容量大于该物品重量，进行判断原来的背包价值，和加上这个物品后价值的比较取最大值。 if x >= weight: key[x] = max(key[x] , key[x - weight]+value) #如果小于，就直接继承上面的值。 else:key[x] = key[x] return key[-1] item = [[1,2],[4,3],[5,6],[6,7]] cap = 10 print(a(item,cap))
Java版本：
class Solution { public int Beibao(int[] c, int a) { int[][] dp = new int[a + 1]; for (int i = 0 ; i < c.length ; i ++){ value = c[i][0]; weight = c[i][1]; for (int j = a ; j >= 0 ; j --){ if (j >= weight){ dp[j] = Math.min(dp[j - weight] +value , dp[j]) ; } else{ dp[j] = dp[j]; } } } return dp[-1]; } }
分类解题模板
模板
在上述中我们知道了一些常见的背包问题，其实在上述每个问题中都是适用于下面的总结：
首先是背包分类的模板：
1、0/1背包：外循环nums,内循环target,target倒序且target>=nums[i];
2、完全背包：外循环nums,内循环target,target正序且target>=nums[i];
3、组合背包(考虑顺序)：外循环target,内循环nums,target正序且target>=nums[i];
4、分组背包：这个比较特殊，需要三重循环：外循环背包bags,内部两层循环根据题目的
要求转化为1,2,3三种背包类型的模板
然后是问题分类的模板：
1、最值问题: dp[i] = max/min(dp[i], dp[i-nums]+1)或dp[i] = max/min(dp[i], dp[i-num]+nums);
2、存在问题(bool)：dp[i]=dp[i]||dp[i-num];
3、组合问题：dp[i]+=dp[i-num];
上面这个真的是对做这种背包问题十分十分重要的！！！
上面这个真的是对做这种背包问题十分十分重要的！！！
上面这个真的是对做这种背包问题十分十分重要的！！！
分割等和子集
416. 分割等和子集
题目：
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
示例1：
输入：nums = [1,5,11,5] 输出：true 解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
思路：
本题可以说是一个非常经典的 01背包 问题。首先当这个 nums和为奇数的时候肯定是不满足本题要求的，所以肯定就直接排除。当为偶数的时候，我们可以以nums 数组和的 一半 当作 背包容量 ，且nums里面的元素当作 物品 。当然这个也是一个 存在问题 ，所以这个我们就可以直接套用上述的 模板2 （dp[i]=dp[i]||dp[i-num]）。
代码部分
Java版本：
class Solution { public boolean canPartition(int[] nums) { //计算数组nums的和 int sum = 0; for (int s : nums){ sum += s; } //判断和是否为偶数 if (sum % 2 != 0) return false; int t = sum / 2;//获取背包容量 boolean[] dp = new boolean[t + 1];//dp数组的创建 dp[0] = true;//设置最开始的为True，因为最开始的背包容量为0的时候肯定是True for (int i = 0; i < nums.length; i++){//外循环为nums int c = nums[i]; for (int j = t; j > 0 ; j--){//内循环为target，且一定要使用倒序，这个不明白的可以看最后的参考部分 if (j == c) dp[j] = true;//当nums中的物品等于背包容量时，肯定是为True的 if (j >= c) {//这个就需要判断nums数组中是相加是否能满足背包容量吗 dp[j] = dp[j] || dp[ j- c ]; } } } return dp[t];//最后返回结果 } }
Python版本：
class Solution: def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool: s = sum(nums) if s % 2 != 0: return False s //= 2 dp = [False] * (s + 1) for i in range(len(nums)): x = nums[i] for j in range(s, 0,-1): if x == j : dp[j] = True else: if j - x >= 0: dp[j] = dp[j] or dp[j - x] else: dp[j] = dp[j] return dp[s]
