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1 引例
给定如图所示的某个函数，如何计算函数零点 x 0 x_0 x
0
？
在数学上我们如何处理这个问题？
最简单的办法是解方程 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0，在代数学上还有著名的零点判定定理
如果函数 y = f ( x ) y= f(x) y=f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 f(a)·f(b)<0 f(a)⋅f(b)<0,那么函数 y = f ( x ) y= f(x) y=f(x)在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内有零点，即至少存在一个 c ∈ ( a , b ) c∈(a,b) c∈(a,b),使得 f ( c ) = 0 f(c)=0 f(c)=0,这个 c c c也就是方程 f ( x ) = 0 f(x)= 0 f(x)=0的根。
然而，数学上的方法并不一定适合工程应用，当函数形式复杂，例如出现超越函数形式；非解析形式，例如递推关系时，精确的方程解析一般难以进行，因为代数上还没发展出任意形式的求根公式。而零点判定定理求解效率也较低，需要不停试错。
因此，引入今天的主题——牛顿迭代法，服务于工程数值计算。
2 牛顿迭代算法求根
记第 k k k轮迭代后，自变量更新为 x k x_k x
k
，令目标函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x = x k x=x_k x=x
k
泰勒展开：
f ( x ) = f ( x k ) + f ′ ( x k ) ( x − x k ) + o ( x ) f\left( x \right) =f\left( x_k \right) +f'\left( x_k \right) \left( x-x_k \right) +o(x)
f(x)=f(x
k
)+f
′
(x
k
)(x−x
k
)+o(x)
我们希望下一次迭代到根点，忽略泰勒余项，令 f ( x k + 1 ) = 0 f(x_{k+1})=0 f(x
k+1
)=0，则
x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}
x
k+1
=x
k
−
f
′
(x
k
)
f(x
k
)
不断重复运算即可逼近根点。
在几何上，上面过程实际上是在做 f ( x ) f(x) f(x)在 x = x k x=x_k x=x
k
处的切线，并求切线的零点，在工程上称为局部线性化。如图所示，若 x k x_k x
k
在 x 0 x_0 x
0
的左侧，那么下一次迭代方向向右。
若 x k x_k x
k
在 x 0 x_0 x
0
的右侧，那么下一次迭代方向向左。
3 牛顿迭代优化
将优化问题转化为求目标函数一阶导数零点的问题，即可运用上面说的牛顿迭代法。
具体地，记第 k k k轮迭代后，自变量更新为 x k x_k x
k
，令目标函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x = x k x=x_k x=x
k
泰勒展开：
f ( x ) = f ( x k ) + f ′ ( x k ) ( x − x k ) + 1 2 f ′ ′ ( x k ) ( x − x k ) 2 + o ( x ) f\left( x \right) =f\left( x_k \right) +f'\left( x_k \right) \left( x-x_k \right) +\frac{1}{2}f''\left( x_k \right) \left( x-x_k \right) ^2+o(x)
f(x)=f(x
k
)+f
′
(x
k
)(x−x
k
)+
2
1
f
′′
(x
k
)(x−x
k
)
2
+o(x)
两边求导得
f ′ ( x ) = f ′ ( x k ) + f ′ ′ ( x k ) ( x − x k ) f'\left( x \right) =f'\left( x_k \right) +f''\left( x_k \right) \left( x-x_k \right)
f
′
(x)=f
′
(x
k
)+f
′′
(x
k
)(x−x
k
)
令 f ′ ( x k + 1 ) = f ′ ( x k ) + f ′ ′ ( x k ) ( x k + 1 − x k ) = 0 f'\left( x_{k+1} \right) =f'\left( x_k \right) +f''\left( x_k \right) \left( x_{k+1}-x_k \right) =0 f
′
(x
k+1
)=f
′
(x
k
)+f
′′
(x
k
)(x
k+1
−x
k
)=0，从而得到
x k + 1 = x k − f ′ ( x k ) f ′ ′ ( x k ) x_{k+1}=x_k-\frac{f'\left( x_k \right)}{f''\left( x_k \right)}
x
k+1
=x
k
−
f
′′
(x
k
)
f
′
(x
k
)
对于向量 x = [ x 1 x 2 ⋯ x d ] T \boldsymbol{x}=\left[
x1x2⋯xd
x1x2⋯xd
\right] ^T x=[
x
1
x
2
⋯
x
d
]
T
，将上述迭代公式推广为
x k + 1 = x k − [ ∇ 2 f ( x k ) ] − 1 ∇ f ( x k ) {\boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{x}_k-\left[ \nabla ^2f\left( \boldsymbol{x}_k \right) \right] ^{-1}\nabla f\left( \boldsymbol{x}_k \right) }
x
k+1
=x
k
−[∇
2
f(x
k
)]
−1
∇f(x
k
)
其中 ∇ 2 f ( x k ) \nabla ^2f\left( \boldsymbol{x}_k \right) ∇
2
f(x
k
)是Hessian矩阵，当其正定时可以保证牛顿优化算法往 减小的方向迭代
牛顿法的特点如下：
① 以二阶速率向最优点收敛，迭代次数远小于梯度下降法，优化速度快；
梯度下降法的解析参考图文详解神秘的梯度下降算法原理(附Python代码)
②学习率为 [ ∇ 2 f ( x k ) ] − 1 \left[ \nabla ^2f\left( \boldsymbol{x}_k \right) \right] ^{-1} [∇
2
f(x
k
)]
−1
，包含更多函数本身的信息，迭代步长可实现自动调整，可视为自适应梯度下降算法；
③ 耗费CPU计算资源多，每次迭代需要计算一次Hessian矩阵，且无法保证Hessian矩阵可逆且正定，因而无法保证一定向最优点收敛。
在实际应用中，牛顿迭代法一般不能直接使用，会引入改进来规避其缺陷，称为拟牛顿算法簇，其中包含大量不同的算法变种，例如共轭梯度法、DFP算法等等，今后都会介绍到。
4 代码实战：Logistic回归
import pandas as pd import numpy as np import os import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib as mpl from Logit import Logit ''' * @breif: 从CSV中加载指定数据 * @param[in]: file -> 文件名 * @param[in]: colName -> 要加载的列名 * @param[in]: mode -> 加载模式, set: 列名与该列数据组成的字典, df: df类型 * @retval: mode模式下的返回值 ''' def loadCsvData(file, colName, mode='df'): assert mode in ('set', 'df') df = pd.read_csv(file, encoding='utf-8-sig', usecols=colName) if mode == 'df': return df if mode == 'set': res = {} for col in colName: res[col] = df[col].values return res if __name__ == '__main__': # ============================ # 读取CSV数据 # ============================ csvPath = os.path.abspath(os.path.join(__file__, "../../data/dataset3.0alpha.csv")) dataX = loadCsvData(csvPath, ["含糖率", "密度"], 'df') dataY = loadCsvData(csvPath, ["好瓜"], 'df') label = np.array([ 1 if i == "是" else 0 for i in list(map(lambda s: s.strip(), list(dataY['好瓜']))) ]) # ============================ # 绘制样本点 # ============================ line_x = np.array([np.min(dataX['密度']), np.max(dataX['密度'])]) mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei'] plt.title('对数几率回归模拟\nLogistic Regression Simulation') plt.xlabel('density') plt.ylabel('sugarRate') plt.scatter(dataX['密度'][label==0], dataX['含糖率'][label==0], marker='^', color='k', s=100, label='坏瓜') plt.scatter(dataX['密度'][label==1], dataX['含糖率'][label==1], marker='^', color='r', s=100, label='好瓜') # ============================ # 实例化对数几率回归模型 # ============================ logit = Logit(dataX, label) # 采用牛顿迭代法 logit.logitRegression(logit.newtomMethod) line_y = -logit.w[0, 0] / logit.w[1, 0] * line_x - logit.w[2, 0] / logit.w[1, 0] plt.plot(line_x, line_y, 'g-', label="牛顿迭代法") # 绘图 plt.legend(loc='upper left') plt.show()
其中更新权重代码为
''' * @breif: 牛顿迭代法更新权重 * @param[in]: None * @retval: 优化参数的增量dw ''' def newtomMethod(self): wTx = np.dot(self.w.T, self.X).reshape(-1, 1) p = Logit.sigmod(wTx) dw_1 = -self.X.dot(self.y - p) dw_2 = self.X.dot(np.diag((p * (1 - p)).reshape(self.N))).dot(self.X.T) dw = np.linalg.inv(dw_2).dot(dw_1) return dw
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