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1 从一个问题开始
机器学习中，著名的Logistic分类回归算法，使用概率还是几率建模？
事实上国内没有很好的文章辨析概率和几率的区别，请各位带着问题往下看，相信会有所收获。
2 频率和概率
先给出定义。
频率(frequency)是当前已完成的有限次实验中，事件 X X X发生的次数占总实验次数的比例，是经验值。根据伯努利大数定律：当实验次数足够大时，事件 X X X发生的频率将趋于稳定值，此稳定值称为概率(Probability)，概率是给定模型参数后，对样本合理性的度量，而不涉及任何观测数据。
对未来的预测来源于过往经验，而沟通经验与未来的工具就是概率——所谓事件 X X X发生可能性大小，就是事件 X X X在历史中发生的频率大小!
引例1.1：抛掷一枚质地均匀的硬币并统计其向上、向下的次数。统计结果显示该硬币在100次抛掷实验中有60次向上，40次向下，求再掷1次硬币正面朝上的概率。
引例1.1中频率 f = 60 % f=60\% f=60%而概率 P = 50 % P=50\% P=50%。
3 先验概率和后验概率
引例1.2：如图所示，假设每次实验时随机从某个盒子里挑出一个球。随机变量 A A A表示挑出的盒子，且设 P ( A = b l u e ) = 0.6 P\left( A=blue \right) =0.6 P(A=blue)=0.6；随机变量 B B B表示挑中的球，问：
(a) P ( A = r e d ) = ? P\left( A=red \right) =? P(A=red)=? ；
(b) 在挑中蓝色盒子的条件下， P ( B = g r e e n ) = ? P\left( B=green \right) =? P(B=green)=?；
(c) 已知挑出绿色的球，则其是从红色盒子中挑出的概率有多大？
可以得到如下答案：
(a) P ( A = r e d ) = 0.4 P\left( A=red \right) =0.4 P(A=red)=0.4
(b) P ( B = g r e e n ∣ A = b l u e ) = P ( B = g r e e n , A = b l u e ) P ( A = b l u e ) = 3 4 P\left( B=green|A=blue \right) =\frac{P\left( B=green,A=blue \right)}{P\left( A=blue \right)}=\frac{3}{4} P(B=green∣A=blue)=
P(A=blue)
P(B=green,A=blue)
=
4
3
(c) P ( A = r e d ∣ B = g r e e n ) = P ( B = g r e e n ∣ A = r e d ) P ( A = r e d ) P ( B = g r e e n ) = 2 11 P\left( A=red|B=green \right) =\frac{P\left( B=green|A=red \right) P\left( A=red \right)}{P\left( B=green \right)}=\frac{2}{11} P(A=red∣B=green)=
P(B=green)
P(B=green∣A=red)P(A=red)
=
11
2
先验概率也称边缘概率(marginal probability)，指根据以往经验和分析，在实验或采样前就可以得到而不依赖于其他任何事件的概率，例如 P ( A = r e d ) = 0.4 P\left( A=red \right) =0.4 P(A=red)=0.4，其不依赖于任何事件(如取出绿球等)，在实验前就可得出。
后验概率也称条件概率(conditional probability)，指某事件(如实验或采样)已经发生，而与此相因果事件的概率，例如(Ab)(Ac)。
4 什么是几率？
对样本合理性的度量有两种方式：
(1) 以频度为核心的度量方式，关注频率的极限，此时称为概率，记为 P P P；
(2) 以信念(belief)为核心的度量方式，此时称为几率(odds)，记为 O O O。所谓信念，是相比于样本不合理而言，有多大把握认为样本合理的直观度量，即
O = P 1 − P O=\frac{P}{1-P}
O=
1−P
P
引例1.1中几率 O = 1 : 1 O=1:1 O=1:1说明无论再投掷多少次，仍然没有把握认为一定正面向上，此时若引入质地不均匀的硬币产生几率 O = 10 : 1 O=10:1 O=10:1，则可以直观地反映硬币正面向上比反面向上的可能性大得多。
概率或几率越大表明事件越有可能发生，因为它们对刻画样本合理性的本质相同。引入几率是因为其具有很多特殊性质，例如：
(1) 概率取值在0到1，但几率取值在0到正无穷，因此对几率取对数可以获得负无穷到正无穷范围的对称定义域，此时称为对数几率(log odds)。这种对称性被广泛应用于统计机器学习中，例如著名的Logistic回归分析；
(2) 几率更直观地反映了样本合理与不合理之间的置信差距，因此博彩行业引入赔率的概念来反应下注者对参赛者获胜的信心。
5 回到问题
Logistic分类回归算法，使用概率还是几率建模？
有了前面的铺垫，这个问题就很显然了。Logistic回归是联系函数取Sigmoid函数时的广义线性模型，化简后即得
f ( x ^ ( i ) ) = g − 1 ( w ^ T x ^ ( i ) ) ⇔ w ^ T x ^ ( i ) = ln f ( x ^ ( i ) ) 1 − f ( x ^ ( i ) ) f\left( \boldsymbol{\hat{x}}^{\left( i \right)} \right) =g^{-1}\left( \boldsymbol{\hat{w}}^T\boldsymbol{\hat{x}}^{\left( i \right)} \right) \Leftrightarrow \boldsymbol{\hat{w}}^T\boldsymbol{\hat{x}}^{\left( i \right)}=\ln \frac{f\left( \boldsymbol{\hat{x}}^{\left( i \right)} \right)}{1-f\left( \boldsymbol{\hat{x}}^{\left( i \right)} \right)}
f(
x
^
(i)
)=g
−1
(
w
^
T
x
^
(i)
)⇔
w
^
T
x
^
(i)
=ln
1−f(
x
^
(i)
)
f(
x
^
(i)
)
对这个式子不熟悉的话可以等我后面进行Logistic分类回归算法的详解。
将上式中的 f ( x ) f(x) f(x)看作后验概率 p ( y i = 1 ∣ x ^ ( i ) ) p\left( y_i=1|\boldsymbol{\hat{x}}^{\left( i \right)} \right) p(y
i
=1∣
x
^
(i)
)则等式右边就是对数几率，这是因为用几率可以获得负无穷到正无穷的对称定义域。所以回答文章开始的问题：Logistic分类回归算法，使用几率建模。
6 什么是似然？
概率与似然是站在两个角度上看待问题。假设样本集为 X X X，环境参数为 θ \theta θ
(1) 当环境参数 θ \theta θ已知时为概率问题：概率即是给定模型参数后，对样本合理性的描述，而不涉及任何观测数据。
(2) 当环境参数 θ \theta θ未知时为似然问题：似然即是给定样本观测数据，从而推测可能产生这个结果的环境参数。似然问题也称为逆概(Converse Probability)问题。
引例1.3：(a) 假设掷一枚硬币正面朝上概率为 θ = 0.5 \theta =0.5 θ=0.5，求掷10次硬币中有7次正面朝上的概率；(b) 有一个硬币有 θ \theta θ的概率正面朝上，为确定 θ \theta θ做如下实验：掷10次硬币得到一个正反序列——HHTTHTHHHH。
显然，(Qa)可以不依赖任何观测数据计算出 ，即最终的观测数据在0.117附近则认为是合理的；(Qb)则是通过观测数据构造似然函数来反推环境参数：事实上，这符合人类认识的规律——即在不断地实践中获得观测数据，再从观测数据中总结经验规律(对应于模型参数)。在机器学习中，也往往是需要机器根据已有的数据学到相应的分布——即确定由 θ \theta θ决定的模型。
似然认为 θ \theta θ是随机变量其实是贝叶斯学派的观点，关于贝叶斯方法的具体分析可以参考机器学习：详解贝叶斯网络+例题分析。
7 写在最后
本文完整地辨析了统计机器学习理论中常用的频率、概率、几率、似然概念，帮助各位读者今后学习AI、ML理论知识。另外，本专栏后续会开放Python机器学习实战系列，基于周志华老师的西瓜书，对课后的编程题（例如LDA、DT等）逐一给出完整源码，欢迎订阅本专栏，也欢迎关注作者。
