文章目录
一、 真子集
二、 空集
三、 全集
四、 幂集
五、 集合元素个数
六、 求幂集步骤
一、 真子集
真子集 :
描述 : A , B A , BA,B 两个集合 , 如果 A AA 集合 是 B BB 集合的子集 , 并且 A ≠ B A \not= BA
=B , 则称 A AA 是 B BB 的真子集 , B BB 真包含 A AA ;
记作 : A ⊂ B A \subset BA⊂B
符号化表示 : A ⊂ B A \subset BA⊂B ⇔ \Leftrightarrow⇔ A ⊆ B ∧ A ≠ B A \subseteq B \land A \not= BA⊆B∧A
=B
非真子集 :
描述 : A AA 集合 不是 B BB 集合的真子集 ;
记作 : A ⊄ B A \not\subset BA
⊂B
符号化表示 : A ⊄ B A \not\subset BA
⊂B ⇔ \Leftrightarrow⇔ ∃ x ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∧ A ≠ B \exist x ( x \in A \land x \not\in B ) \land A \not= B∃x(x∈A∧x
∈B)∧A
=B
( 存在元素 x xx 是集合 A AA 的元素 , 不是集合 B BB 的元素 , 并且 A , B A , BA,B 不相等 , 则 A AA 不是 B BB 的真子集 )
真包含关系 性质 :
反自反性 : A ⊄ A A \not\subset AA
⊂A
反对称性 : 如果 A ⊂ B A \subset BA⊂B , 那么 B ⊄ A B \not\subset AB
⊂A
传递性 : 如果 A ⊂ B A \subset BA⊂B , 并且 B ⊂ C B \subset CB⊂C , 那么 A ⊂ C A \subset CA⊂C
二、 空集
空集描述 : 没有任何元素的集合 , 称为空集合 , 简称为 空集 ;
记作 : ∅ \varnothing∅
空集示例 : A = { x ∣ x 2 + 1 = 0 ∧ x ∈ R } A = \{ x | x^2 + 1 = 0 \land x \in R \}A={x∣x
2
+1=0∧x∈R}
R RR 是实数集合 , 上述 x xx 明显无解 , 集合也为空集 ;
空集定理 : 空集是一切集合的子集 ;
空集推论 : 空集是唯一的 ;
三、 全集
全集 : 限定所讨论的集合 , 都是某个集合的子集 , 则称该集合为全集 , 记作 E EE ;
全集不唯一 : 全集只是相对于讨论问题的范畴 , 不唯一 , 不能讨论范畴之外的情况 ;
全集示例 : 讨论 [0, 1] 区间上的实数性质 , 取全集为 [0, 1] 上的所有实数 ;
( 讨论其它区间的数 , 也可以取其它的区间作为全集 )
四、 幂集
幂集描述 : A AA 是一个集合 , A AA 集合的全体子集组成的集合 称为 A AA 的幂集 ;
记作 : P ( A ) P(A)P(A)
符号化表述 : P ( A ) = { x ∣ x ⊆ A } P(A) = \{ x | x \subseteq A \}P(A)={x∣x⊆A}
五、 集合元素个数
集合元素个数 :
0 00 元集 : ∅ \varnothing∅
1 11 元集 : 含有 1 11 个元素的集合 , 又称为 单元集 ;
2 22 元集 : 含有 2 22 个元素的集合 ;
⋮ \vdots⋮
n nn 元集 : 含有 n nn 个元素的集合 ; ( n ≥ 1 n \geq 1n≥1 )
有穷集 : ∣ A ∣ |A|∣A∣ 表示集合 A AA 中的元素个数 , 如果 A AA 集合中的元素个数是 有限数 时 , 那么称该 A AA 集合为有穷集 , 或 有限集 ;
幂集个数定理 : 集合 A AA 中的 元素个数 ∣ A ∣ = n |A| = n∣A∣=n , 则 A AA 的 幂集个数 ∣ P ( A ) ∣ = 2 n |P(A)| = 2^n∣P(A)∣=2
n
;
六、 求幂集步骤
求幂集步骤 : 求 集合 A AA 的幂集 , 需要按照顺序求 A AA 集合中 由低到高元的所有子集 , 再将这些子集组成集合 ;
低到高元的所有子集 : 0 00 元集 , 1 11 元集 , 2 22 元集 , ⋯ \cdots⋯ , n nn 元集 ;
集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b , c \}A={a,b,c}
0 00 元集 : ∅ \varnothing∅
1 11 元集 : { a } \{ a \}{a} , { b } \{ b \}{b} , { c } \{ c \}{c}
2 22 元集 : { a , b } \{ a, b \}{a,b} , { a , c } \{ a, c \}{a,c} , { b , c } \{ b, c \}{b,c}
3 33 元集 : { a , b , c } \{ a, b, c \}{a,b,c}
集合 A AA 的幂集是 :
P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } } P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a, b \} , \{ a, c \} , \{ b, c \} , \{ a, b, c \} \}P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
