目录
树的基本定义
二叉查找树的创建
二叉查找树API设计
二叉查找树代码实现
二叉树的基础遍历
二叉树的层序遍历
二叉树的最大深度问题
树的基本定义
树是由n ( n>=1 )个有限结点组成一个具有层次关系的集合。根朝上，而叶朝下。
树具有以下特点:
1.每个结点有零个或多个子结点;
2.没有父结点的结点为根结点;
3.每一个非根结点只有一个父结点;
4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树;
树的相关术语
结点的度︰
一个结点含有的子树的个数称为该结点的度;
叶结点∶
度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点
分支结点︰
度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
结点的层次∶
从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
结点的层序编号∶
将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
树的度∶
树中所有结点的度的最大值
树的高度(深度)∶
树中结点的最大层次
森林∶
m ( m>=0)个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林;给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树
孩子结点:
一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
双亲结点(父结点)∶
一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
兄弟结点∶
同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点
二叉树的基本定义:
二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)
满二叉树:
一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
完全二叉树:
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
二叉查找树的创建
结点类API设计
代码实现
private class Node<Key,Value>{ //存储键 public Key key; //存储值 private Value value; //记录左子结点 public Node left; //记录右子结点 public Node right; public Node(Key key,Value value,Node left,Node right){ this.key=key; this.value=value; this.left=left; this.right=right; } }
二叉查找树API设计
插入方法put实现思想︰
1.如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
2.如果当前树不为空，则从根结点开始∶
①如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点;
②如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点;
③如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。
查询方法get实现思想:
从根节点开始︰
1.如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点;
2.如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点;
3.如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。
删除方法delete实现思想:
1.找到被删除结点;
⒉找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
3.删除右子树中的最小结点
4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
5.让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
二叉查找树代码实现
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>,Value> { //记录根结点 private Node root; //记录树中元素的个数 private int N; //获取树中元素的个数 public int size(){ return N; } //向树中添加元素key-value public void put(Key key,Value value){ root=put(root,key,value); } //向指定的书中添加key-value private Node put(Node x,Key key,Value value){ if(x==null){ N++; return new Node(key,value,null,null); } int cmp=key.compareTo(x.key); if(cmp>0){ x.right=put(x.right,key,value); } else if(cmp<0){ x.left=put(x.right,key,value); }else { x.value=value; } return x; } //查询树中指定key的value值 public Value get(Key key){ return get(root,key); } public Value get(Node x,Key key){ if(x==null){ return null; } int cmp=key.compareTo(x.key); if(cmp>0){ return get(x.right,key); } else if(cmp<0){ return get(x.left,key); }else { return x.value; } } //查找整个树中最小的键 public Key min(){ return min(root).key; } //查找最小键所在的结点 private Node min(Node x){ if(x.left!=null){ return min(x.left); }else { return x; } } //查找最大的键 public Key max(){ return max(root).key; } public Node max(Node x){ if(x.right!=null){ return max(x.right); }else{ return x; } } public void delete(Key key){ root=delete(root,key); } //删除指定结点对应的value public Node delete(Node x,Key key){ if(x==null){ return null; } int cmp=key.compareTo(x.key); if(cmp>0){ //新结点的key大于当前结点，继续找当前结点的子结点 x.right=delete(x.right,key); }else if(cmp<0){ x.left=delete(x.left,key); }else { if(x.right==null){ return x.left; } if(x.left==null){ return x.right; } Node minNode=x.right; while(minNode.left!=null){ minNode=minNode.left; } Node n=x.right; while(n.left!=null){ if(n.left.left==null){ n.left=null; }else{ n=n.left; } } minNode.left=x.left; minNode.right=x.right; x=minNode; N--; } return x; } private class Node{ //存储键 public Key key; //存储值 private Value value; //记录左子结点 public Node left; //记录右子结点 public Node right; public Node(Key key,Value value,Node left,Node right){ this.key=key; this.value=value; this.left=left; this.right=right; } } } class Test{ public static void main(String[] args) { BinaryTree<Integer,String> bt=new BinaryTree<>(); bt.put(3,"龍弟"); bt.put(2,"龙龙"); bt.put(4,"龍帝"); bt.put(5,"龍哥"); System.out.println(bt.size()); bt.put(3,"小龙"); System.out.println(bt.get(3)); System.out.println(bt.size()); bt.delete(1); System.out.println(bt.size()); } }
二叉树的基础遍历
1.前序遍历;
先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
//使用前序遍历 public Queue<Key> preErgodic(){ Queue<Key> keys=new Queue<>(); preErgodic(root,keys); return keys; } private void preErgodic(Node x,Queue<Key>keys){ if(x==null){ return; } //1.把当前结点的key放到队列中 keys.enqueue(x.key); //2.找到当前结点的左子树，如果不为空，则递归遍历 if(x.left!=null){ preErgodic(x.left,keys); } //3.遍历右子树 if(x.right!=null){ preErgodic(x.right,keys); } }
2.中序遍历﹔
先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
//使用中序遍历，获取整个树中的所有键 public Queue<Key> midErgodic(){ Queue<Key> keys=new Queue<>(); midErgodic(root,keys); return keys; } //使用中序遍历，把指定树x中所有键放入到keys队列中 private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys){ if(x==null){ return; } //1.遍历左子树 if(x.left!=null){ midErgodic(x.left,keys); } //2.把当前结点的key放入到队列中 keys.enqueue(x.key); //3.找到当前结点的右子树，若不为空，递归遍历右子树 if(x.right!=null){ midErgodic(x.right,keys); } }
3.后序遍历﹔
先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点
//使用后序遍历，获取整个树中的所有键 public Queue<Key> afterErgodic(){ Queue<Key> keys=new Queue<>(); afterErgodic(root,keys); return keys; } private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys){ if(x==null){ return; } //1.遍历左子树 if(x.left!=null){ afterErgodic(x.left,keys); } //2.遍历右子树 if(x.right!=null){ afterErgodic(x.right,keys); } //3.放入到队列中 keys.enqueue(x.key); }
二叉树的层序遍历
所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值。
实现步骤:
1.创建队列，存储每一层的结点;
⒉.使用循环从队列中弹出一个结点:
①获取当前结点的key ;
②如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
③如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中
//层序遍历 public Queue<Key> layerErgodic(){ Queue<Key> keys=new Queue<>(); Queue<Node> nodes=new Queue<>(); nodes.enqueue(root); while(!nodes.isEmpty()){ Node x=nodes.dequeue(); keys.enqueue(x.key); if(x.left!=null){ nodes.enqueue(x.left); } if(x.right!=null){ nodes.enqueue(x.right); } } return keys; }
二叉树的最大深度问题
//树的最大深度 public int maxDepth(){ return maxDepth(root); } private int maxDepth(Node x){ //1.如果根结点为空，则最大深度为0 if(x==null){ return 0; } int max=0; int maxL=0; int maxR=0; //2.计算左子树的最大深度 if(x.left!=null){ maxL=maxDepth(x.left); } //3.计算右子树的最大深度 if (x.right!=null){ maxR=maxDepth(x.right); } //4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
