上节课，我们主要介绍了机器学习的可行性。首先，由NFL定理可知，机器学习貌似是不可行的。但是，随后引入了统计学知识，如果样本数据足够大，且hypothesis个数有限，那么机器学习一般就是可行的。本节课将讨论机器学习的核心问题，严格证明为什么机器可以学习。从上节课最后的问题出发，即当hypothesis的个数是无限多的时候，机器学习的可行性是否仍然成立？
一、Recap and Preview
我们先来看一下基于统计学的机器学习流程图：
该流程图中，训练样本D和最终测试h的样本都是来自同一个数据分布，这是机器能够学习的前提。另外，训练样本D应该足够大，且hypothesis set的个数是有限的，这样根据霍夫丁不等式，才不会出现Bad Data，保证Ein≈Eout，即有很好的泛化能力。同时，通过训练，得到使Ein最小的h，作为模型最终的矩g，g接近于目标函数。
这里，我们总结一下前四节课的主要内容：第一节课，我们介绍了机器学习的定义，目标是找出最好的矩g，使g≈f，保证Eout(g)≈0；第二节课，我们介绍了如何让Ein≈0，可以使用PLA、pocket等演算法来实现；第三节课，我们介绍了机器学习的分类，我们的训练样本是批量数据（batch），处理监督式（supervised）二元分类（binary classification）问题；第四节课，我们介绍了机器学习的可行性，通过统计学知识，把Ein(g)与Eout(g)联系起来，证明了在一些条件假设下，Ein(g)≈Eout(g)成立。
上节课介绍的机器学习可行的一个条件是hypothesis set的个数M是有限的，那M跟上面这两个核心问题有什么联系呢？
我们先来看一下，当M很小的时候，由上节课介绍的霍夫丁不等式，得到Ein(g)≈Eout(g)，即能保证第一个核心问题成立。但M很小时，演算法A可以选择的hypothesis有限，不一定能找到使Ein(g)足够小的hypothesis，即不能保证第二个核心问题成立。当M很大的时候，同样由霍夫丁不等式，Ein(g)与Eout(g)的差距可能比较大，第一个核心问题可能不成立。而M很大，使的演算法A的可以选择的hypothesis就很多，很有可能找到一个hypothesis，使Ein(g)足够小，第二个核心问题可能成立。
二、Effective Number of Line
我们先看一下上节课推导的霍夫丁不等式：
当M=∞时，上面不等式右边值将会很大，似乎说明BAD events很大，Ein(g)与Eout(g)也并不接近。但是BAD events Bm级联的形式实际上是扩大了上界，union bound过大。这种做法假设各个hypothesis之间没有交集，这是最坏的情况，可是实际上往往不是如此，很多情况下，都是有交集的，也就是说M实际上没那么大，如下图所示：
也就是说union bound被估计过高了（over-estimating）。所以，我们的目的是找出不同BAD events之间的重叠部分，也就是将无数个hypothesis分成有限个类别。
如何将无数个hypothesis分成有限类呢？我们先来看这样一个例子，假如平面上用直线将点分开，也就跟PLA一样。如果平面上只有一个点x1，那么直线的种类有两种：一种将x1划为+1，一种将x1划为-1：
如果平面上有两个点x1、x2，那么直线的种类共4种：x1、x2都为+1，x1、x2都为-1，x1为+1且x2为-1，x1为-1且x2为+1：
也就是说，对于平面上三个点，不能保证所有的8个类别都能被一条直线划分。那如果是四个点x1、x2、x3、x4，我们发现，平面上找不到一条直线能将四个点组成的16个类别完全分开，最多只能分开其中的14类，即直线最多只有14种：
三、Effective Number of Hypotheses
再来看这个例子，假设在二维空间里，如果hypothesis是凸多边形或类圆构成的封闭曲线，如下图所示，左边是convex的，右边不是convex的。那么，它的成长函数是多少呢？
四、Break Point
上一小节，我们介绍了四种不同的成长函数，分别是：
五、总结
本节课，我们更深入地探讨了机器学习的可行性。我们把机器学习拆分为两个核心问题：Ein(g)≈Eout(g)和Ein(g)≈0。对于第一个问题，我们探讨了M个hypothesis到底可以划分为多少种，也就是成长函数mH。并引入了break point的概念，给出了break point的计算方法。下节课，我们将详细论证对于2D perceptrons，它的成长函数与break point是否存在多项式的关系，如果是这样，那么机器学习就是可行的。
