Softmax Classifier

softmax分类器和logistics regression有点像，softmax其实就是从logistics发张过来的。由于是多分类了，需要走更多的概率来表示每一个分类。softmax的公式：
问题来了，为什么不直接求？而是绕这么大的一圈最后还是求最大值。①我们需要的其实就是max，但是这个max有一个缺点，就是不可导。所以我们需要一个函数来模拟max，exp是指数函数，数值大的增长的速度就会更块，这样就可以把最大的区分出来。同时也是可导的，这样设计也可以使得特征对概率的影响是乘性的。②softmax是从logistics发展过来的，自然就用到了交叉熵损失函数，，目标类其他的都是0，这个时候求导，，这个形式非常简洁，而且与线性回归（采用最小均方误差目标函数）、两类分类（采用cross-entropy目标函数）时的形式一致。
主要实现流程：
首先就是exp的归一化操作，得到当前样本属于每一个类别的概率，
然后就是求对数化求cost function。
求导操作：

Softmax里的参数特点

所以可以看出，最优参数减去一些向量φ对预测结果是没有什么影响的，也就是说在模型里面，是有多组的最优解，因为φ的不同就意味着不同的解，而φ对于结果又是没有影响的，所以就存在多组解的可能。

Softmax和logistics的关系

所以说softmax是logistics的一种扩展，回到二分类，softmax也是一样的，都是用的cross-entropy。

代码实现

使用手写数字识别的数据集：

class DataPrecessing(object):
    def loadFile(self):
        (x_train, x_target_tarin), (x_test, x_target_test) = mnist.load_data()
        x_train = x_train.astype('float32')/255.0
        x_test = x_test.astype('float32')/255.0
        x_train = x_train.reshape(len(x_train), np.prod(x_train.shape[1:]))
        x_test = x_test.reshape(len(x_test), np.prod(x_test.shape[1:]))
        x_train = np.mat(x_train)
        x_test = np.mat(x_test)
        x_target_tarin = np.mat(x_target_tarin)
        x_target_test = np.mat(x_target_test)
        return x_train, x_target_tarin, x_test, x_target_test

    def Calculate_accuracy(self, target, prediction):
        score = 0
        for i in range(len(target)):
            if target[i] == prediction[i]:
                score += 1
        return score/len(target)

    def predict(self, test, weights):
        h = test * weights
        return h.argmax(axis=1)

引入数据集，格式的转换等等。

def gradientAscent(feature_data, label_data, k, maxCycle, alpha):
    '''train softmax model by gradientAscent
    input:feature_data(mat) feature
    label_data(mat) target
    k(int) number of classes
    maxCycle(int) max iterator
    alpha(float) learning rate
    '''
    Dataprecessing = DataPrecessing()
    x_train, x_target_tarin, x_test, x_target_test = Dataprecessing.loadFile()
    x_target_tarin = x_target_tarin.tolist()[0]
    x_target_test = x_target_test.tolist()[0]
    m, n = np.shape(feature_data)
    weights = np.mat(np.ones((n, k)))
    i = 0
    while i <= maxCycle:
        err = np.exp(feature_data*weights)
        if i % 100 == 0:
            print('cost score : ', cost(err, label_data))
            train_predict = Dataprecessing.predict(x_train, weights)
            test_predict = Dataprecessing.predict(x_test, weights)
            print('Train_accuracy : ', Dataprecessing.Calculate_accuracy(x_target_tarin, train_predict))
            print('Test_accuracy : ', Dataprecessing.Calculate_accuracy(x_target_test, test_predict))
        rowsum = -err.sum(axis = 1)
        rowsum = rowsum.repeat(k, axis = 1)
        err = err / rowsum
        for x in range(m):
            err[x, label_data[x]] += 1
        weights = weights + (alpha/m) * feature_data.T * err
        i += 1
    return weights

def cost(err, label_data):
    m = np.shape(err)[0]
    sum_cost = 0.0
    for i in range(m):
        if err[i, label_data[i]] / np.sum(err[i, :]) > 0:
            sum_cost -= np.log(err[i, label_data[i]] / np.sum(err[i, :]))
        else:
            sum_cost -= 0
    return sum_cost/m

实现其实还是比较简单的。

    Dataprecessing = DataPrecessing()
    x_train, x_target_tarin, x_test, x_target_test = Dataprecessing.loadFile()
    x_target_tarin = x_target_tarin.tolist()[0]
    gradientAscent(x_train, x_target_tarin, 10, 100000, 0.001)

GitHub代码https://github.com/GreenArrow2017/MachineLearning/tree/master/MachineLearning/Linear%20Model/LogosticRegression