全文线索:
解题引出费波纳茨——>费波纳茨递归解法——>费波纳茨动态规划解法——>矩阵快速幂解法
一、来解题
字符串只由'0'和'1'两种字符构成,
当字符串长度为1时,所有可能的字符串为"0"、"1";
当字符串长度为2时,所有可能的字符串为"00"、"01"、"10"、"11";
当字符串长度为3时,所有可能的字符串为"000"、"001"、"010"、"011"、"100"、
"101"、"110"、"111"
...
如果某一个字符串中,只要是出现'0'的位置,左边就靠着'1',这样的字符串叫作达
标字符串。
给定一个正数N,返回所有长度为N的字符串中,达标字符串的数量。
比如,N=3,返回3,因为只有"101"、"110"、"111"达标。
思路:
对于位置 i,假定 i 前面是1,则 i 有两种情况
当 i=0 时,i+1位必为1,剩下的就是 f(i-2)
当 i=1 时,i+1位可以是1,也可以是0,因此剩下的是 f(i-1)
即f(i)= f(i-2)+ f(i-1) 因此本题可以使用费波纳茨来解。
二、递归解费波纳茨
int process(int i, int n){
if(i==n) return 1;
if(i==n-1) return 2;
return process(i+1, n) + process(i+2, n);
}
int getNum1(int n){
if(n<1) return 0;
return process(1,n);
}
int main(){
int n=30;
//普通费波纳茨
int normal=getNum1(n);
cout<<normal<<endl;
return 0;
}
三、动态规划
int dp(int n){
if(n<1) return 0;
if(n==1) return 1;
vector<int>num(n+1);
num[1]=1;
num[2]=2;
//第2到第n位的值
for(int i=3; i<n+1; i++)
num[i]=num[i-1]+num[i-2];
cout<<num[n]<<endl;
return num[n];
}
int main(){
int n=30;
//动态规划
int dynamic=dp(n);
return 0;
}
动态规划空间优化
int dp2(int n){
if(n<1) return 0;
if(n==1) return 1;
int temp=0, cur=1, pre=1;
for(int i=2; i<n+1; i++){
temp=cur;
cur+=pre;
pre=temp;
}
return cur;
}
三、快速幂
铺垫
对于数列 f(n)=f(n-1)+f(n-2),被减数最大值为2,因此我们的矩阵是2阶的。
数学公式输入不友好,直接上图吧
因此可以得到递推式——|f(n)-f(n-1)|=|f(2)-f(1)| * 的(n-2)次幂
a,b,c,d的值需要自行计算。亮点在于高次幂的计算,如何减少高次幂的乘积次数。
先来看看整数高次幂是如何做的
如何提高高次幂运算速度,比如10的75次幂。
第一步:将75拆成二进制,即1001011
第二步:两个辅助变量,t=10,res=1(用于res记录结果)
上伪代码:
int t=10, res=1;
vector<int>flag={1,0,0,1,0,1,1};
for(int i=0; i<flag.size(); i++){
if(flag[i]==1)
res*=t;
t*=t;
}
只有二进制位为1的t才会与res进行相乘,时间复杂度为O(logN)
res为10的75次幂的计算结果。
矩阵的高次幂计算同理。
先将(n-2)转成二进制数。上代码:
void turn(int n) {
vector<int>num;
while (n) {
if (n % 2 == 1)
num.push_back(1);
else
num.push_back(0);
n /= 2;
}
}
vector中存的是n的二进制,不过是从后往前存的,不过对于从低位到高位依次取出元素来计算,却是方便的(好吧,我就这么村存了,来打我呀)
矩阵乘法
咋算?
用代码表示矩阵乘法就是玩矩阵了
一步一步来,先看一下矩阵乘法用c++怎么实现(main函数中的m1和m2的位置写反了,见谅)
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
vector<vector<int>> Matrix_multi(vector<vector<int>>m1,
vector<vector<int>>m2){
int temp=0;
//m1的行,m2的列,就是结果矩阵的尺寸
vector<vector<int>>res(m1.size(),vector<int>(m2[0].size()));
for(int i=0; i<res.size(); i++){
for(int j=0; j<res[0].size(); j++){
for(int k=0; k<m2.size(); k++){
res[i][j]+=m1[i][k]*m2[k][j];
}
}
}
return res;
}
int main(){
vector<vector<int>>m2={
{1, 2, 3, 4, 5},
{6, 7, 8, 9,10},
{11,12,13,14,15},
{16,17,18,19,20}};
vector<vector<int>>m1={
{1, 2, 3, 4},
{6, 7, 8, 9},
{11,12,13,14}};
vector<vector<int>>answer=Matrix_multi(m1,m2);
for(auto i :answer){
for(auto j :i)
cout<<j<<" ";
cout<<endl;
}
return 0;
}
Java的实现版本
public static int[][] muliMatrix(int[][] m1, int[][] m2) {
int[][] res = new int[m1.length][m2[0].length];
for (int i = 0; i < m1.length; i++) {
for (int j = 0; j < m2[0].length; j++) {
for (int k = 0; k < m2.length; k++) {
res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];
}
}
}
return res;
}
终于可以来实现我们的快速幂了(这段代码有个bug,抓不到啊,哭)
//矩阵乘法
vector<vector<int>>Matrix_multi(vector<vector<int>>m1,
vector<vector<int>>m2){
//数组初始化
vector<vector<int>>res(m1.size(),vector<int>(m2[0].size()));
//行
for(int i=0; i<m1.size(); i++){
//列
for(int j=0; j<m2[0].size(); j++){
for(int k=0; k<m2.size(); k++){
res[i][j]+=m1[i][k]+m2[k][j];
}
}
}
return res;
}
//计算传入参数的二进制
vector<int>calculate_binary(int n){
vector<int>res;
while(n>0){
if(n%2)
res.push_back(1);
else
res.push_back(0);
n/=2;
}
return res;
}
//快速幂,不会打英文,皮一下也很开心
int QuickMi(int n){
/*
快速幂心法:
f(n)=f(n-1)+f(n-2),则矩阵就是2阶的(几阶看被减的最大的数)
n阶,则需要解n*n个变量
*/
if(n<1) return 0;
if(n==1) return 1;
if(n==2) return 2;
vector<vector<int>>res={{1,0},{0,1}};
vector<vector<int>>tool={{1,1},{1,0}};
//计算n-2的二进制是多少
vector<int>binary=calculate_binary(n-2);
for(int i=0; i<binary.size(); i++){
if(binary[i]){
res=Matrix_multi(res, tool);
}
tool=Matrix_multi(tool, tool);
}
//因为结果是|f(n),f(n-1)|=|f(2),f(1)|*res矩阵,|f(2),f(1)|=|2,1|,因此f(n)=2*res[0][0] + res[1][0]
return 2*res[0][0] + res[1][0];
}
int main(){
int n=30;
//快速幂
int answer=QuickMi(n);
cout<<answer<<endl;
return 0;
}
完整代码(快速幂处有一个没抓到的bug)
/*
字符串只由'0'和'1'两种字符构成,
当字符串长度为1时,所有可能的字符串为"0"、"1";
当字符串长度为2时,所有可能的字符串为"00"、"01"、"10"、"11";
当字符串长度为3时,所有可能的字符串为"000"、"001"、"010"、"011"、"100"、
"101"、"110"、"111"
...
如果某一个字符串中,只要是出现'0'的位置,左边就靠着'1',这样的字符串叫作达
标字符串。
给定一个正数N,返回所有长度为N的字符串中,达标字符串的数量。
比如,N=3,返回3,因为只有"101"、"110"、"111"达标。
*/
//思路——费波纳茨
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int process(int i, int n){
if(i==n) return 1;
if(i==n-1) return 2;
return process(i+1, n) + process(i+2, n);
}
int getNum1(int n){
if(n<1) return 0;
return process(1,n);
}
int dp(int n){
if(n<1) return 0;
if(n==1) return 1;
vector<int>num(n+1);
num[1]=1;
num[2]=2;
//第2到第n位的值
for(int i=3; i<n+1; i++)
num[i]=num[i-1]+num[i-2];
cout<<"dp1="<<num[n]<<endl;
return num[n];
}
//空间优化之后的动态规划
int dp2(int n){
if(n<1) return 0;
if(n==1) return 1;
int temp=0, cur=1, pre=1;
for(int i=2; i<n+1; i++){
temp=cur;
cur+=pre;
pre=temp;
}
cout<<"dp2="<<cur<<endl;
return cur;
}
//矩阵乘法
vector<vector<int>>Matrix_multi(vector<vector<int>>m1,
vector<vector<int>>m2){
//数组初始化
vector<vector<int>>res(m1.size(),vector<int>(m2[0].size()));
//行
for(int i=0; i<m1.size(); i++){
//列
for(int j=0; j<m2[0].size(); j++){
for(int k=0; k<m2.size(); k++){
res[i][j]+=m1[i][k]+m2[k][j];
}
}
}
return res;
}
//计算传入参数的二进制
vector<int>calculate_binary(int n){
vector<int>res;
int temp=0;
while(n>0){
if(n%2)
temp=1;
else
temp=0;
res.push_back(temp);
n/=2;
}
return res;
}
//快速幂,不会打英文,皮一下也很开心
int QuickMi(int n){
/*
快速幂心法:
f(n)=f(n-1)+f(n-2),则矩阵就是2阶的(几阶看被减的最大的数)
n阶,则需要解n*n个变量
*/
if(n<1) return 0;
if(n==1) return 1;
if(n==2) return 2;
vector<vector<int>>res={{1,0},{0,1}};
vector<vector<int>>tool={{1,1},{1,0}};
//计算n-2的二进制是多少
vector<int>binary=calculate_binary(n-2);
for(int i=0; i<binary.size(); i++){
if(binary[i]){
res=Matrix_multi(res, tool);
}
tool=Matrix_multi(tool, tool);
}
//因为结果是|f(n),f(n-1)|=|f(2),f(1)|*res矩阵,|f(2),f(1)|=|2,1|,因此f(n)=2*res[0][0] + res[1][0]
return 2*res[0][0] + res[1][0];
}
int main(){
int n=30;
//普通费波纳茨
int normal=getNum1(n);
cout<<"normal="<<normal<<endl;
//动态规划
int dynamic=dp(n);
//优化空间之后不的动态规划
dp2(n);
//快速幂
int answer=QuickMi(n);
cout<<answer<<endl;
return 0;
}
扩展——费波纳茨适用题型
牛,每年生一个niu,小牛三岁后开始生牛,牛十岁就会死,这可以构成一个什么递推式?见下图
费波纳茨适用于
那些除了初始项之外,其余项都有严格递推式的题,有if,else的,就不适合用费波纳茨,因为他有条件转移。