01 贝叶斯算法 - 朴素贝叶斯

引子：

1、孩子的性别问题

已知一对夫妻生了2个孩子，其中一个是女孩，那么另一个也是女孩的概率的多少？
普遍大家会觉得生男生女都一样，所以另一个也是女孩的概率是1/2。而另一部分稍微聪明一点的人认为：根据排列组合，两个孩子生男生女一共有4种可能性，所以都是女生的概率是1/4。
然而恭喜你们，完美得避开了正确答案。
我们来看看这究竟是怎么一回事，不考虑数学公式，我们来看看两个孩子中其中一个是女孩的可能性有哪些。

首先，小夫妻生了老大和老二，但题干中并没有说明哪个是女孩。
给出所有生孩子可能出现的情况：
(老大，老二) = { 男男， 女女， 男女， 女男 }；
在其中，出现女孩的情况有三个：
{女女， 男女， 女男 }；
在这三种情况里，满足__其中一个是女孩，那么另一个也是女孩的__情况只有一种。
所以__正确答案是1/3__；

用条件公式概率公式来描述:

思路1：
$color{red}{P(A|B) = P(2个都是女孩 | 其中一个是女孩) = 1/3}$
即：在其中一个是女孩的情况下，夫妻生的双胞胎都是女孩的概率是1/3。

思路2：
P(AB) ：表示两个都是女孩的概率 = 1/4；
P(B)：其中一个是女孩 = 3/4；
$\color{red}{P(A|B) =P(AB)/P(B) = 1/3}$

请将这两个红色的公式深深得植入大脑后开始本章的学习。

2、古典概率中著名的三门问题

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？

推荐一个非常鬼畜的动画来帮助大家理解这个问题：
https://mp.weixin.qq.com/s/7XqjBR4xUUOtuWyzL5v2ig

数学公式分析:

第一次选中车，第二次中选车的__联合概率__，用公式表达：
$color{red}{P(1车，2车) 这是一个联合概率。}$

P(1车，2车) = 第一次选中车的概率 × (第一次选中车的条件下，第二次还选中车的概率)；用公式表达：
$color{red}{P(1车，2车) = P(1车) × P(2车|1车)}$
__分析：__第一次抽到车的概率1/3，第二次如果换抽到车的概率是0。

同理：第一次选中羊，第二次选中车的__联合概率公式__：
$color{red}{P(1羊，2车) = P(1羊) × P(2车|1羊)}$
__分析：__第一次抽到羊的概率2/3，第二次抽如果换，必然抽到车。

获奖概率：P(2车) - 如果第二次换门，抽奖获得车的概率。
$color{red}{P(2车) = P(1车，2车) + P(1羊，2车)}$
$color{red}{= P(1车) × P(2车|1车) + P(1羊) × P(2车|1羊)}$
$color{red}{= 1/3×0 + 2/3×1 = 2/3}$

同理，如果第二次换门，抽奖获得羊的概率：P(2羊)
$color{red}{P(2羊) = P(1羊，2羊) + P(1车，2羊)}$
$color{red}{= P(1羊) × P(2羊|1羊) + P(1车) × P(2羊|1车)}$
$color{red}{= 2/3×0 + 1/3×1 = 1/3}$

结论：从概率角度来看，换个门是有价值的。

衍生一个问题：一共1000个门里，有999只草泥马，只有一辆劳斯莱斯。
你选了一扇门后，我去掉了另外998个装有草泥马的门。
现在剩下一扇你刚才选的门，以及另外一扇没有打开的门。

现在你换不换？

例子想要说明的重点：

在给定条件的情况下，很多生活中看似显而易见的概率问题会发生重大的变化。

在模型求解的过程中，会遇到2种问题：__判别式模型__和__生成式模型__。
判别式模型： P(Y|X) - 条件概率，即在发生了X的条件下，生成了Y的概率。
生成式模型： P(X,Y) - 联合概率，即考虑X和Y同时发生的概率。
很多模型都是基于判别式和生成式进行构建的。很多__分类__的问题用的是__判别式__模型。__聚类__问题多数采用__生成式__模型。

一、贝叶斯定理相关公式

先验概率P(A)：在不考虑任何情况下，A事件发生的概率。
条件概率P(B|A)：A事件发生的情况下，B事件发生的概率。
后验概率P(A|B)：在B事件发生之后，对A事件发生的概率的重新评估。

有时候 P(B|A) 不太好求，但右边式子中的情况都比较好求，这时候可以通过贝叶斯公式转化问题：
P(B|A) = P(A,B) / P(A) = P(B)P(A|B) / P(A)

全概率：如果A和A'(A的补集)构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率为：A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的概率之和。

例子中的：$color{red}{P(2车) = P(1车，2车) + P(1羊，2车)}$ 就是求全概率的一种情况。
即： $color{red}{全集=A+A的补集}$；

基于条件概率的贝叶斯定律数学公式：

例子：后验概率问题 - P(B|A) = P(A,B) / P(A) = P(B)P(A|B) / P(A)；
有两个碗，第一个碗中装有30个水果糖和10个巧克力糖，第二个碗中装有20个水果糖和20个巧克力糖，现在随机选择一个碗，从中取出一颗糖，发现是水果糖，请求出这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？

思路：
1、已知每个碗中取出水果糖的概率，已知每次选碗也是随机。
2、那么先求出随机取碗条件下，取出是水果糖的__全概率__。
3、再根据P(B|A) = P(A,B) / P(A) = P(B)P(A|B) / P(A) 公式反推后验概率问题：水果糖来自一号碗的概率有多大。

二、朴素贝叶斯算法

朴素贝叶斯(Naive Bayes， NB)是基于“__特征之间是独立的__”这一朴素假设，应用贝叶斯定理的监督学习算法。__朴素贝叶斯本质就是一个分类算法。__

对应给定的样本X的特征向量x1,x2,...,xn；该样本X的类别y的概率可以由贝叶斯公式得到：

朴素贝叶斯算法推导：

特征属性之间是独立的，所以得到：

在给定样本的情况下，P(x1,x2,...,xm)是常数，所以得到：

从而：

用TF-IDF分词和词袋法来分析上述公式的应用：

朴素贝叶斯算法流程/定义如下：

1、设x={a1,a2,...,an}为待分类项，其中a为x的一个特征属性。
2、类别集合为C={y1,y2,...,yn}；
3、分别计算P(y1|x),P(y2|x),....,P(yn|x)的值（贝叶斯公式）
4、如果P(yk|x)=max{P(y1|x),P(y2|x),....,P(yn|x)},那么认为x为yk类型。

三、高斯朴素贝叶斯

Gaussian Naive Bayes是指当特征属性为连续值时，而且分布服从高斯分布，那么在计算P(x|y)的时候可以直接使用高斯分布的概率公式：

因此只需要计算出各个类别中此特征项划分的各个均值和标准。

P(x_k|y_k) 怎么求？

1、先找到y_k这个分类结果的样本，找到这些样本对应的x_k属性，求这些x_k的均值和标准差，最后代入g(x,η,σ)；

2、分别计算P(x₁|y_k)× ....× P(x_n|y_k) × P(y_k)的值，这个公式和P(y_k|x₁,x₂,...,x_n)成正比；

3、当分类个数为m个时，分别计算k=1~m的 P(x₁|y_k)× ....× P(x_n|y_k) × P(y_k)的值，取其中最大概率时的K值，即最终的分类结果。

四、伯努利朴素贝叶斯

Bernoulli Naive Bayes是指当特征属性为离散值时，而且分布服从伯努利分布，那么在计算P(x|y)的时候可以直接使用伯努利分布的概率公式：

伯努利分布是一种离散分布，只有两种可能的结果。1表示成功，出现的概率为p；0表示失败，出现的概率为q=1-p；其中均值为E(x)=p，方差为Var(X)=p(1-p)；

五、多项式朴素贝叶斯

Multinomial Naive Bayes是指当特征属性服从多项分布，从而，对于每个类别y，参数为θy=(θy1,θy2,...,θyn)，其中n为特征属性数目，那么P(x_i |y)的概率为θ_yi; 该算法__一般用于文本分类__。

分析和总结：

如果数据中既有连续的特征，又有离散的特征，我们该如何去做分类？
本质上来说，我们计算的是每一个特征对应的概率。如图：

当遇到__连续值特征__时，我们用__高斯__去算P(x_i|y)。
遇到__离散值特__征时，我们__用多项式__或__伯努利__去算P(x_i|y)。

但问题是我们的API中没有自动得集成这些功能，在这种情况下该怎么去做分类呢？
首先，我们要人为得去分析特征到底属于什么类型的数据。如果特征是一个连续值比较多的数据集，我们统一使用高斯就行了。反之统一用用多项式或伯努利。或者高级一点，对数据进行分箱操做。

02 贝叶斯算法 - 案例一 - 鸢尾花数据分类
03 贝叶斯算法 - 案例二 - 新闻数据分类