高等数学1

关于反对幂三指

• 指的是哪个留下来

在隐函数中求导数${{dy}\over{dy}}$

• 不是众生平等，而是将y看成是x的方程

对隐函数求微分

• 众生平等，加法两侧都看成一个单元，对自己的函数，求微分，遇到复合也一样

• 微分公式为${{\partial{y}}\over{\partial{x}}}dy$

• 微分的近似
  

  $$dy \approx f^{'}(x_0)\Delta{x}$$
  $$dy = f(x + x_0) - f(x_0)$$
  $$f(x + x_0) \approx f(x_0) + f^{'}(x_0)\Delta{x}$$
  $$f(x) \approx f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0)$$

  • 以此类推

    $$f(x) \approx f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + {f^{''}(x_0)(x - x_0)^{2}\over{2!}} + \cdots + {f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^{n}\over{n!}}$$

    • 上式已经非常接近泰勒公式了，添加上一个拉格朗日余项即可
      

      $$f(x) \approx f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + {f^{''}(x_0)(x - x_0)^{2}\over{2!}} + \cdots + {f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^{n}\over{n!}} + R_n(x)$$
      • 当$x_0 = 0$的时候就是麦克劳林公式
  • 无法估计可能用到的等式
    • $tanx \approx x$
    • $sinx \approx x$
    • ${(1 + x)}^{\alpha} \approx 1 + \alpha{x}$
    • $e^x \approx 1 + x$
    • $ln(1 + x) \approx x$

洛必达公式

• 洛必达是关于求极限的方法
• $0\over0$或者$\infty\over\infty$