动态规划（一）：爬楼梯

题目

一个 阶的楼梯，每次能走 1～2 阶，问走到 阶一共多少种走法

分析

因为每次能走 1～2 阶，所以第 阶的前一个状态可以是第 阶，或第 阶，且只有这两种情况。

解答

以 表示到达第 阶的所有走法个数，当 时，则有：

当 时，处于原地，因为步长为 1 ~ 2 阶，不能有前进之后再后退的情况，所以只能有当前一种方式，所以

当 时，只能选择步长为 1 一种方式，所以

根据此推到公式可以有如下解法。

递归形式

def climbingStairs(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    return climbingStairs(n-1) + climbingStairs(n-2)

递归形式的时间复杂度为 ，空间复杂度为 。

时间复杂度参考斐波那契数列的时间复杂度 Time complexity of recursive Fibonacci program，
因为递归栈数最深为 层，所以空间复杂度为 。

迭代形式

递归形式算法的时间复杂度呈指数级增长，所以这种算法较为不现实。观察递推关系式：

可以发现，每个阶梯数的函数值，只与其前两项的函数值有关，所以不妨由低到高进行推导。

def climbingStairs(n):
    a, b, i = 1, 1, 2
    while i <= n:
        a, b, i = b, a + b, i + 1
    return b

以 表示 ，迭代更新 的值，即可得出最后的结果。时间复杂度为 ，空间复杂度为 。

矩阵形式

根据递推关系式，对二阶差分方程构造矩阵：

根据 的递推关系式， 可得：

import numpy as np
import math
def climbingStairs_matrix(n):
    unit = np.array([[1, 1], [1, 0]])  
    target, result = n - 1, np.identity(2, int)  # target means the total index
    while target > 1:
        index, tmp = 1, unit
        times = int(math.log2(target))  # the iterations times
        while index <= times:
            tmp, index = np.dot(tmp, tmp), index + 1
        result = np.dot(tmp, result)
        target = target - 2 ** times
    result = np.dot(unit, result) if target == 1 else result
    result = np.dot(result, np.array([[1], [1]]))
    return result[0][0]

• 最好情况下

以求 值为例，若 ，则有如下分析：

若已知 ，因为 ，则只需要一次计算即可;

若已知 ，因为 ，则得出 值需要两次计算，首先计算出 ，然后计算出 ;
...
...
...
若已知 ，则计算出 需要 次计算，即计算 值的时间复杂度为

即最好情况下矩阵运算的时间复杂度为 ，空间复杂度为 。

• 最坏情况下

以求 值为例，若 ，则有：

由最好情况分析结论知， 的计算次数为 。若已知 ，则得出 的值需要 次计算。

递推有：

由最好情况分析结论知， 的计算次数为 。若已知 ，则得出 的值需要 次计算。
...
...
...

则得出 的值需要 次计算。

即最坏情况下矩阵运算的时间复杂度为 ，空间复杂度为 。

若使用逆矩阵，则逆矩阵的个数 存在同样问题，所以此处不涉及逆矩阵运算。

保留中间状态的矩阵形式

观察以上矩阵形式的代码可知，非最优场景下的计算过程存在重复运算，虽然通过对数形式降低了重复的次数，但依然存在计算能力的浪费。针对该情况，申请空间保留中间计算状态。

def climbingStairs_matrix(n):
    unit = np.array([[1, 1], [1, 0]])  # M represents the unit matrix
    arr, target, result = [unit], n - 1, np.identity(2, int)  # target means the total index
    while target > 1:
        index, tmp = 1, unit
        times = int(math.log2(target))  # the iterations times
        if times >= len(arr):
            while index <= times:
                tmp, index = np.dot(tmp, tmp), index + 1
                arr.append(tmp)
        else:
            tmp = arr[times]
        result = np.dot(tmp, result)
        target = target - 2 ** times
    result = np.dot(unit, result) if target == 1 else result
    result = np.dot(result, np.array([[1], [1]]))
    return result[0][0]

代码中增加 数组保存中间的计算状态，其中 表示 的值。该形式的矩阵运算时间复杂度为 ，空间复杂度为 。

拓展形式

当步长调整为 1～ 阶时，问走到 阶一共多少种走法

递归形式

def climbingStairs(n, m):
    if n == 0:
        return 1
    stepSize, result = n if m >= n else m, 0
    for i in range(1, stepSize + 1):
        result += climbingStairs4(n - i, m)
    return result

递归关系式由 更新为 ，增加步长 与 的大小关系判断。

迭代形式

def climbingStairs(n, m):
    if n <= 1 or m == 1:
        return 1
    stepSize = n if m >= n else m
    arr = [0] * stepSize
    arr[0], arr[1], index, tmp = 1, 1, 2, 1
    while index <= n:
        if index > stepSize:
            tmp, arr[index % stepSize] = arr[index % stepSize], arr[(index - 1) % stepSize] * 2 - tmp
        else:
            arr[index % stepSize] = arr[(index - 1) % stepSize] * 2
        index += 1
    return arr[(index - 1) % stepSize]

时间复杂度与步长为 1 ~ 2 时相同，为 。因为需要申请空间存储中间状态数据，所以空间复杂度为 ，其中 表示最大步长。