梯度下降是迭代法的一种,可以用于求解最小二乘问题(线性和非线性都可以)。在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent）是最常采用的方法之一，另一种常用的方法是最小二乘法。在求解损失函数的最小值时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数和模型参数值。
模拟实现梯度下降法
def DJ(theta): //计算损失函数J的斜率
return 2*(theta-2.5)
def J(theta): //损失函数J，使用梯度下降法 求该函数极小值
return (theta-2.5)**2+1
theta = 0.0
eta = 0.1
epsilon = 1e-8
theta_history = [theta]
while True:
gradient = DJ(theta)
last_theta = theta
theta = theta - eta*gradient
theta_history.append(theta)
if(abs(J(theta) - J(last_theta))<epsilon):
break
pyplot.plot(plot_x,plot_y)
pyplot.plot(np.array(theta_history),J(np.array(theta_history)),color='r',marker='+')
梯度下降法应用于线性回归算法
def fit_gd(self,X_train,y_train,eta=0.01,n_iters=1e6):
def J(theta,X_b,y):
try:
return np.sum((y-X_b.dot(theta))**2)/len(y)
except:
return float("inf")
def dJ(theta,X_b,y):
# res = np.empty()
# res[0] = np.sum(X_b.dot(theta)-y)
# for i in range(1,len(theta)):
# res[i] = (X_b.dot(theta)-y).dot(X_b[:,i])
# return res * 2 / len(X_b)
return X_b.T.dot(X_b.dot(theta)-y)*2./len(X_b)
def gradient_descent(X_b,y,initial_theta,eta,n_iters=1e6,epsilon=1e-8):
theta = initial_theta
cur_iter = 0
while cur_iter<n_iters:
gradient = dJ(theta,X_b,y)
last_theta = theta
theta = theta - eta * gradient
if (abs(J(theta,X_b,y) - J(last_theta,X_b,y)) < epsilon):
break
cur_iter+=1
return theta
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train),1)),X_train])
initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])
self._theta = gradient_descent(X_b,y_train,initial_theta,eta,n_iters)
self.interception_ = self._theta[0]
self.coef_ = self._theta[1:]
return self
随机梯度下降法
随机梯度下降法是在矩阵X_b中任选一行进行梯度下降，基于这种思想，每次下降具有很大的随机性，甚至损失函数有可能变大，但根据经验，发现这种方法也可以较好的计算出最佳的损失函数值。
随机梯度下降法的超参数(模拟退火)
由于随机梯度下降法的不确定性，因此eta值需要根据每次递归的过程递减，图示即为常用的eta值递减方案。
def dJ_sgd(theta,X_b_i,y_i):
return X_b_i.T.dot(X_b_i.dot(theta)-y_i)*2.
def sgd(X_b,y, initial_theta,n_iters):
t0 = 5.0
t1 = 50.0
def learning_theta(t):
return t0/(t1+t)
theta = initial_theta
for cur_iter in range(n_iters):
rand_i = np.random.randint(len(X_b))
gradient = dJ_sgd(theta,X_b[rand_i],y[rand_i])
theta = theta-learning_theta(cur_iter) * gradient
return theta
使用sklearn中的随机梯度下降法
from sklearn.linear_model import SGDRegressor
sgd = SGDRegressor(n_iter=1000)
sgd.fit(X_train_standard,y_train)
sgd.score(X_test_standard,y_test)
梯度下降法的DEBUG
一般来说，梯度下降法需要对损失函数进行数学推导出他的导函数，但我们如何得知推导过程是否正确，或者说导函数是否正确呢，我们可以使用以下方法进行验证
def dJ_debug(theta,X_b,y,epslion=0.01):
res = np.empty(len(theta))
for i in range(len(theta)):
theta_1 = theta.copy()
theta_1[i] += epslion
theta_2 = theta.copy()
theta_2[i] -= epslion
res[i] = (J(theta_1,X_b,y)-J(theta_2,X_b,y)/(2*epslion))
return res
使用两个蓝点的斜率来替代红点的斜率，验证斜率是否正确
