拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用

  插值，不论在数学中的数值分析中，还是在我们实际生产生活中，都不难发现它的身影，比如造船业和飞机制造业中的三次样条曲线。那么，什么是插值呢？我们可以先看一下插值的定义，如下：

  （定义）如果对于每个$1 \leq i \leq n,P(x_{i})=y_{i}$,则称函数$y=P(x)$插值数据点$(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$.

   插值的定义无疑是清楚明了的，而在众多的数学函数中，多项式无疑是最简单，最常见的函数，关于它的理论研究也最为透彻。因此，我们可以不妨先考虑利用多项式来进行插值。那么，这样的多项式是否总是存在呢？答案是肯定的，因为我们有如下定理：

  （多项式插值定理）令$(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$是平面中的$n$个点，各$x_{i}$互不相同。则有且仅有一个$n-1$次或者更低的多项式$P$满足$P(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.$

  证明:先用归纳法证明存在性，再证明唯一性。
  当$n=1$时，常函数(0次)$P_{1}(x)=y_{1}$即符合要求。假设当$n-1$时存在一个次数$\leq n-2$的多项式$P_{n-1}$,使得$P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n-1.$则令$P_{n}(x)=P_{n-1}(x)+c(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n-1})(x-x_{n})$，其中$c$为待定系数，利用$P_{n}(x_{n})=y_{n}$即可求出待定系数$c$.此时，$P_{n}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n,$且$P_{n}(x)$的次数$\leq n-1$.这样就证明了存在性。
  其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式，设为$P(x)$和$Q(x)$，它们次数$\leq n-1$且都插值经过$n$个点，即$P(x_{i})=Q(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.$令$H(x)=P(x)-Q(x)$,$H$的次数也$\leq n-1$，且有$n$个不同的根$x_{1},x_{2},...,x_{n}$.因此，由多项式基本定理可知，$H(x)$为0多项式，即恒等于0，故有$P(x)=Q(x)$.这样就证明了存在性。
  证毕。

  有了以上定理，我们可以放心地使用多项式进行插值，同时，通过上述定理，我们可以用归纳法来构造此多项式，但是，这样的方法难免复杂麻烦。于是，天才的法国数学家拉格朗日（Lagrange）创造性地发明了一种实用的插值多项式方法来解决这个问题，那么，他的方法是怎么样的？
  一般来说，如果我们有$n$个点$(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$，各$x_{i}$互不相同。对于1到n之间的每个$k$，定义$n-1$次多项式

$$L_{k}(x) = \frac{(x-x_{1})..(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{1})..(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})...(x_{k}-x_{n})}$$
$L_{k}(x)$具有有趣的性质： $L_{k}(x_{k})=1,L_{k}(x_{j})=0,j\neq k.$然后定义一个 $n-1$次多项式
$$P_{n-1}(x)=y_{1}L_{1}(x)+...+y_{n}L_{n}(x).$$
这样的多项式 $P_{n-1}(x)$满足 $P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.$这就是著名的拉格朗日插值多项式！
  以上就是拉格朗日插值多项式的理论介绍部分，接下来我们就要用Python中的Sympy模块来实现拉格朗日插值多项式啦~~
  实现拉格朗日插值多项式的Python代码如下：

from sympy import *

def Lagrange_interpolation(keys, values):
    x = symbols('x')
    t = len(keys)
    ploy = []
    for i in range(t):
        lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
        item = '*'.join(lst)
        ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
    ploy = '+'.join(ploy)

    return factor(expand(ploy))

def main():
    #example 1, interpolate a line 
    x_1 = [1,2]
    y_1 = [3,5]
    if len(x_1) != len(y_1):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_1,y_1))

    #example 2, interpolate a parabola
    x_2 = [0,2,3]
    y_2 = [1,2,4]
    if len(x_2) != len(y_2):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))

    #example 3
    x_3 = [0,1,2,3]
    y_3 = [2,1,0,-1]
    if len(x_3) != len(y_3):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_3,y_3))

main()

函数Lagrange_interpolation()具体实现了拉格朗日插值多项式，参数(keys, values)为list形式的点对，在main()函数中举了三个Lagrange_interpolation()函数的应用实例，一个是插值两个点，即直线，一个是插值三个点，即抛物线，一个是插值四个点，但结果却是一次多项式。该程序的运行结果如下：

  接下来，我们将介绍一个拉格朗日插值多项式的应用，即求
$$1^{k}+2^{k}+...+x^{k}$$
的求和公式，其中 $x,k$为正整数。分析如下:
  首先，该求和公式应当是一个至多为k+1次的关于 $x$的多项式。然后，我们可以通过取k+2个不同的点，利用拉格朗日插值多项式的办法来求解，这k+2个不同的点的横坐标可以取 $x=1,2,...,k+2$,在求出其对应的纵坐标的值。
  以下代码分别求出 $k=1,2,...,50$的求和公式，并将其插入到Redis中。

from sympy import *
import redis

def Lagrange_interpolation(keys, values):
    x = symbols('x')
    t = len(keys)
    ploy = []
    for i in range(t):
        lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
        item = '*'.join(lst)
        ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
    ploy = '+'.join(ploy)

    return factor(expand(ploy))

def degree_of_sum(k):
    x_list, y_list = [], []
    degree = k    # degree=k in expression of  1^k+2^k+...+x^{k}
    cul_sum = 0
    for i in range(1,degree+3):
        x_list.append(i)
        cul_sum += i**degree
        y_list.append(cul_sum)
    return Lagrange_interpolation(x_list,y_list)

def main(): 
    r = redis.Redis(host='localhost', port=6379,db=0)
    for k in range(1,51):
        expression = str(degree_of_sum(k))
        r.hset('sum_%s'%k,'degree',str(k))
        r.hset('sum_%s'%k,'expression',expression)
        print('Degree of %d inserted!'%k)

main()

运行以上程序，结果如下：

在Redis中的储存结果如下：



我们可以具体查看当 $k=2$时的求和公式，如下：



  这样我们就介绍完了一个拉格朗日插值多项式的应用了。看了上面的介绍，聪明又机智的你是否能想到更多拉格朗日插值多项式的应用呢？欢迎大家交流哦~~
  新的一年，新的气象，就从这一篇开始~~

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