最小生成树是图这一数据结构里最常讨论的方面之一。
先用一下几个概念回忆一下什么是最小生成树：
连通图：任意两个结点之间都有一个路径相连
生成树（Spannirng Tree）：连通图的一个极小的连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边
最小生成树（Minimum Spannirng Tree）：连通图的最小代价的生成树（各边的权值之和最小）
最小生成树性质（MST性质）：
设G=(V，E)是一个连通网络，U是顶点集V的一个真子集。若(u，v)是G中一条“一个端点在U中(例如：u∈U)，另一个端点不在U中的边(例如：v∈V-U)，且(u，v)具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u，v)。
证明：http://fdcwqmst.blog.163.com/blog/static/164061455201010392833100/
构造最小生成树的两种方法：Prim算法和Kruskal算法。它们都利用了MST性质；都使用贪心策略，一次生成一条权值最小的“安全边”。
下面看一下Prim算法的具体内容。
算法思想：
1. 从图中选取一个节点作为起始节点（也是树的根节点），标记为已达；初始化所有未达节点到树的距离为到根节点的距离；
2. 从剩余未达节点中选取到树距离最短的节点i，标记为已达；更新未达节点到树的距离（如果节点到节点i的距离小于现距离，则更新）；
3. 重复步骤2直到所有n个节点均为已达。
上述过程应该是很清晰的，下面看一下Prim算法的C语言实现：
1 #define N 10 // 定义最大节点数，实际有几个是几个
2 #define MAXDIST 100 // 最大距离，表示两个节点间不可达, 为了输入方便设置成100，实际可用INT_MAX
3
4 // 为了计算方便传入的距离矩阵用指针数组的格式，n是节点数
5 int Prim(int (*map)[N], int n)
6 {
7 int i, j;
8 int minDist, minIndex, totalWeight;
9 int *visited, *parent, *dist; // 分别保存节点的已达标志，父节点，到树的距离
10
11 // 申请空间并清零
12 visited = (int *)malloc(n * sizeof(int));
13 parent = (int *)malloc(n * sizeof(int));
14 dist = (int *)malloc(n * sizeof(int));
15
16 memset(visited, 0, n * sizeof(int));
17 memset(parent, 0, n * sizeof(int));
18 memset(dist, 0, n * sizeof(int));
19
20 // 初始化，设置节点0为根节点
21 visited[0] = 1;
22 totalWeight = 0;
23
24 // 初始化未达节点到树的距离
25 for (i = 1; i < n; ++i)
26 {
27 parent[i] = 0;
28 dist[i] = map[0][i];
29 }
30
31 printf("\nEdge\tWeight\n");
32
33 // n - 1次循环找出n - 1条边
34 for (i = 0; i < n - 1; ++i)
35 {
36 minDist = MAXDIST;
37 minIndex = i;
38
39 // 找出到树距离最小的节点
40 for (j = 1; j < n; ++j)
41 {
42 if (visited[j] == 0 && dist[j] < MAXDIST)
43 {
44 minDist = dist[j];
45 minIndex = j;
46 }
47 }
48
49 if (minIndex == i) // 所有节点到树的距离都为MAXDIST，说明不是连通图，返回
50 {
51 printf("This is not a connected graph!\n");
52 return MAXDIST;
53 }
54
55 // 标记并输出找到的节点和边
56 visited[minIndex] = 1;
57 totalWeight += minDist;
58 printf("%d-->%d\t%3d\n", parent[minIndex], minIndex, map[parent[minIndex]][minIndex]);
59
60 // 更新剩余节点到树的距离
61 for (j = 1; j < n; ++j)
62 {
63 if (visited[j] == 0 && map[j][minIndex] < dist[j])
64 {
65 parent[j] = minIndex;
66 dist[j] = map[j][minIndex];
67 }
68 }
69 }
70
71 printf("\nTotal Weight: %d\n\n", totalWeight);
72
73 return totalWeight;
74 }
再写一个测试函数验证一下功能：
1 int main()
2 {
3 int map[N][N];
4 int i, j;
5 int n, tmp;
6
7 printf("Num of nodes: ");
8 scanf("%d", &n);
9
10 printf("Distance matrix (lower triangular) : ");
11 for (i = 1; i < n; ++i)
12 {
13 map[i][i] = 0;
14
15 for (j = 0; j < i; ++j)
16 {
17 scanf("%d", &tmp);
18 map[i][j] = tmp;
19 map[j][i] = tmp;
20 }
21 }
22
23 Prim(map, n);
24
25 return 0;
26 }
测试图的距离矩阵如下：
因为无向图矩阵是对称的，所以程序中设置只要输入下三角数据即可，也就是下面这些：
也就是输入的数据是这些： 4 2 5 3 4 1 100 3 100 6 100 100 2 2 4
下面是程序运行截图：
算法效率 O(n^2)：
很明显对于每个节点（初始节点除外），都要进行此次遍历查找距离树最近的节点 O(n)，和一次更新操作O(n)，所以总的时间复杂度为O(n^2)。
优化：
上述过程中，冗余操作在于对已经标记为可达的节点，在每次遍历查找和更新时，都还要访问一次。优化的关键就在于如何避免这种操作。
使用优先队列（Priority Queue），或叫堆（Heap），将每次更新的节点加入到队列中，而且保证队列有一定的大小顺序（每次调整的时间复杂度O(logn)）。而查找具有最小距离的元素，只需要取队列首个元素再调整队列（O(logn)）。所以取出n个节点，总的时间复杂度为O(nlogn)。
很明显这是空间换时间的策略，效果相当可观。但是在数据量大的情况下，可能会因为内存不足而无法工作。
