首先，什么是平面连通图?
平面连通图是一个二维网络,网络由节点和边组成,比如我随手画了一个:
也可以是这样:
它并不是一个空间连通图因为他可以拓扑变换成这样:
但如果这种图就不行了:
这样的连通图只能出现在三维空间中,所以无法满足欧拉公式.
其次，欧拉公式是沃特?
欧拉公式也叫欧拉定理,指在简单多面体上，棱数（边）、面数和点数具有一定的关系：点+面=边+2。而且规定,平面网络属于特殊的一种多面体,想不到吧（关于欧拉定理的详解，请转向我的另一篇论文《浅谈欧拉定理》），这里要注意一下，数面数的时候要算上整个图外侧的那个无穷大的面，也就是环路的数量加上1。因此平面连通图恒满足欧拉定理。
至于我为什么要介绍欧拉公式呢，是为了做准备，后面的最小生成树需要用到它！
然后，生成树有啥特点？
在平面连通图中，我们想要用一个如树枝一般层层分岔但无环的线路经过所有的节点，且这个线路必须被包含于连通图。换个说法就是，在这个连通图中，我们希望删除掉一些边，让剩下所有的边都没有形成环，且剩下的边必须相互连通，不能被隔绝，这就是生成树（spanning tree）。比如这样：
可以看出，不同的删边方法可以得到不同的生成树。
根据欧拉公式，生成树中的面数为1，点数不变还是n，因而得到边数等于n-1，对于连通图中的所有生成树都成立。
还是根据欧拉公式可以证明，此时在生成树中随便增添一条边（这条边当然要属于原连通图中），都必然将多出一个环，增加n条边就产生n个环。
把这张连通图看成一张地图，每个节点都是一个地点，每条边都是可走的路径，这时给每条路径赋予一个权重值，代表这条路径的长短，这在TCP/IP协议中叫做度量值或开销（cost），所以这里权值越大，路径开销反而越大。
因此，不同的生成树的总开销未必相同，其中总开销最小的就成为了本文探讨的最小生成树。
还可以看出，在树上，任意两点之间走的路径是最短距离（放之于原来的连通图比较来说）的可能性很小。所以最小生成树不是地图上寻路的最好方法。之后，求最小生成树的两种重要算法
以上都是最基础的铺垫部分，写教程就这点麻烦，一定要从知识的根源开始讲起。那么废话不再多说，直接上算法：kruskal（克鲁斯卡尔）算法和prim（普利木）算法。这两个算法是计算最小生成树最常用的算法没有之一，因为他们既简单又完美，况且他们有很多的相似之处。
Kruskal Algorithm
前期准备：
记平面连通图为G（Graph），设有n个节点，x条边。给所有的边编号并按照权重从小到大排序（有并列相等的顺序随便）放入集合A中，设一个容量为n-1的集合B用来存放最小生成树的所有边，设一个容量为x-n+1的集合C用来存放G中被删除掉的边。kruskal算法是由一个个递进的循环周期组成的，每个循环周期的步骤如下：
先从A中取出权重最小（权重相等选编号更小的）的边放入B中，同时要保证这条边不能和B中已有的边在G中构成环路，如果它是会构成环路的边，它将进入C，然后选择剩下最小权重的边。以此循环直到A中的边全部被取走。做成流程图就是酱紫的：
然后给一个过程图，大家自己意会：
怎么样简单粗暴吧，虽然算法看上去简单的感人，但是该如何证明它的正确性呢？
我们需要证明两点，第一：kruskal算出来的是生成树；第二：它是最小生成树。
证明它是个生成树：
根据之前对生成树下的定义，首先要覆盖所有点，其次不能有环，最后不能有断路。
第一点：很容易，既然通过集合A、B、C包含所有边的洗牌过程，自然照顾到了G中所有的点。
第二点：更容易，每个循环中都要检查一遍是否与之前的”小树苗“形成环路，最后肯定无环。
第三点：可以用反证法，假设最后生成了相互隔离的两棵树，因为总共循环了x次（每条边各一次），两棵树中间的那些边（C中可以连接两棵树的边）当初被审查的时候肯定会被纳入B，与“纳入C”矛盾，所以不可能生成两棵树。
证明它是最小生成树：
这个地方考验大家的空间想象能力，如果想不出来可以画图。
同样是反证法：
对于一个连通图G,假如通过kruskal算法得到的生成树(记为K)不是最小生成树(记为T),那么由欧拉公式可知,”正真的”最小生成树T和通过kruskal算法得到的生成K树拥有相同的边数.那么设K中有y条边是T中没有的,反之T中也有y条边是K中没有的.无论是K还是T,在其中任意添加一条新边(属于G),都将产生一个环.现在开始做一系列的变换,将K变换成T:
选择T中K没有的一条边(记为L1)加入到K中,此时K中必然产生一个环！！,从这个环中选择另一条边(记为L2),删除之而打破这个环,而且L2必须是T中没有的(肯定存在这一条边因为T中的那一处无环！！！).以此类推,经过y次变换后K变成了总权重值更小的T.
那么在上述过程中,肯定有一对L1L2中L1<L2,那么当初kruskal选路过程中，当选到L2的时候,意味着L2不会形成环切权最小,而此时L1也不会形成环,所以此时应该选择L1，与“选择L2”矛盾,得以证明假设不成立，所以kruskal算出来的是最小生成树。完。
prim算法见下文
