通常，选择交给学习算法处理特征的方式对算法的工作过程有很大影响。
例如：在前面的例子中，用\(x1\)表示房间大小。通过线性回归，在横轴为房间大小，纵轴为价格的图中，画出拟合曲线。回归的曲线方程为：\(\theta_0+\theta_1x_1\),如下边最左边的图。
若定义特征集合为：\(x1\)表示房子大小，\(x2\)表示房子大小的平方，使用相同的算法，拟合得到一个二次函数，在图中为一个抛物线，即：\(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_1^2\)，如上边中间的图。
以此类推，若训练集有7个数据，则可拟合出最高6次的多项式，可以找到一条完美的曲线，该曲线经过每个数据点。但是这样的模型又过于复杂，拟合结果仅仅反映了所给的特定数据的特质，不具有通过房屋大小来估计房价的普遍性，而线性回归的结果可能无法捕获所有训练集的信息。
所以，对于一个监督学习模型来说，过小的特征集合使得模型过于简单，过大的特征集合使得模型过于复杂。
对于特征集过小的情况，称之为欠拟合（underfitting）
对于特征集过大的情况，称之为过拟合（overfitting）
解决此类学习问题的方法：
1) 特征选择算法：一类自动化算法，在这类回归问题中选择用到的特征
2) 非参数学习算法：缓解对于选取特征的需求，引出局部加权回归
参数学习算法（parametric learning algorithm）
定义：参数学习算法是一类有固定数目参数，以用来进行数据拟合的算法。设该固定的参数集合为\(\theta\) 。线性回归即是参数学习算法的一个例子
非参数学习算法（Non-parametric learning algorithm）
定义：一个参数数量会随m（训练集大小）增长的算法。通常定义为参数数量随m线性增长。换句话说，就是算法所需要的东西会随着训练集合线性增长，算法的维持是基于整个训练集合的，即使是在学习以后。
局部加权线性回归算法，是一种非参数学习法（non-parametric）
算法思想：
假设对于一个确定的查询点\(x\)，在\(x\)处对你的假设\(h(x)\)求值。
对于线性回归，步骤如下：
1) 拟合出\(\theta\)，使 \(\sum_i(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2\)最小
2) 返回\(\theta^Tx\)
对于局部加权回归，当要处理\(x\)时：
1) 检查数据集合，并且只考虑位于\(x\)周围的固定区域内的数据点
2) 对这个区域内的点做线性回归，拟合出一条直线
3) 根据这条拟合直线对\(x\)的输出，作为算法返回的结果
用数学语言描述即：
1) 拟合出\(\theta\)，使 \(\sum_iw^{(i)}(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2\)最小
2) \(w\)为权值，有很多可能的选择，比如：
\[w^{(i)}=exp\bigg(-\frac{(x^{(i)}-x)^2}{2\tau^2}\bigg)\]
- 其意义在于，所选取的\(x^{(i)}\)越接近\(x\)，相应的\(w^{(i)}\)越接近1；\(x^{(i)}\)越远离\(x\)，\(w^{(i)}\)越接近0。直观的说，就是离得近的点权值大，离得远的点权值小。
- 这个衰减函数比较具有普遍意义，虽然它的曲线是钟形的，但不是高斯分布。\(\tau\)被称作波长，它控制了权值随距离下降的速率。它越小，钟形越窄，\(w\)衰减的很快；它越大，衰减的就越慢。
下图就是\(x\)在(-1,1)之间，\(\tau\)为1的衰减函数图：
x=-1:0.05:1;
y=exp(-x.*x/(2*1^2));
plot(x,y);
这样对局部加权线性回归，它的损失函数为：
\[J(\theta)=\sum\limits_{i=1}^{m}w^{(i)}\big[y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)}\big]^2\]
\[w^{(i)}=exp\bigg(-\frac{(x^{(i)}-x)^2}{2\tau^2}\bigg)\]
算法思路：假设预测点取样本点中的第i个样本点（共m个样本点），遍历1到m个样本点（含第i个），算出每一个样本点与预测点的距离，也就可以计算出每个样本贡献误差的权值，可以看出w是一个有m个元素的向量（写成对角阵形式），代入上式\(J(\theta)\)中。
\[w=\begin{bmatrix}
w_1& & & & \\
& \ddots& & & \\
& & w_i & & \\
& & & \ddots & \\
& & & & w_m
\end{bmatrix}\]
\[J(\theta)=\sum\limits_{i=1}^{m}w^{(i)}\big[y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)}\big]^2=y^Twy-\theta^Tx^Twy-y^Tw^Tx\theta+\theta^Tx^Twx\theta\]
利用最小二乘法，可以计算出一个\(\theta\)向量（一个预测点对应一个向量）,矩阵求导公式可以参考：http://www.cnblogs.com/mikewolf2002/p/7588126.html
\[\bigtriangledown_{\theta}J(\theta)=0 \\ -x^Twy-x^Twy+2x^Twx\theta=0 \\ \theta=(x^Twx)^{-1}x^Twy\]
3) 返回\(\theta^Tx\)
总结：对于局部加权回归，每进行一次预测，都要重新拟合一条曲线。但如果沿着x轴对每个点都进行同样的操作，你会得到对于这个数据集的局部加权回归预测结果，追踪到一条非线性曲线。
*局部加权回归的问题：
由于每次进行预测都要根据训练集拟合曲线，若训练集太大，每次进行预测的用到的训练集就会变得很大。
下面是局部加权线性回顾matlib代码，数据文件下载：https://github.com/pbharrin/machinelearninginaction/tree/master/Ch08
%局部加权线性回归算法（LWR/LOESS） clc; clear all; close all; %% %载入数据 data=load ('ex0.txt'); x=data(:,1:2); y=data(:,3); %% m=size(x,1);%样本数 n=size(x,2);%特征维数 tau=1; w=zeros(m,m); theta=zeros(n,m);%每一列都是一个样本的theta值 for i=1:m for j=1:m w(j,j)=exp(-((x(i,2)-x(j,2))^2)/(2*tau^2)); end theta(:,i)=((x'*w*x)\x')*w*y; %左除式 end figure; plot(x(:,2),y,'r.');%原始数据 hold on; y_fit=x*theta; y=diag(y_fit);%取对角线元素 data(:,1:2)=x; data(:,3)=y; data=sortrows(data,2); %按第二列排序数据 x=data(:,1:2); y=data(:,3); plot(x(:,2),y);
当波长\(\tau\)为1，这是回归曲线接近一条直线，随着波长减小，回归曲线更好的拟合样本数据，但要注意过拟合的问题，选择合适的波长值。
\(\tau=1\)
\(\tau=0.1\)
\(\tau=0.01\)
