前面的文章《连续分布的产生》中，我主要讲述了用均匀分布生成各种连续分布的方法，其中的特殊方法都是利用分布之间的关系来生成的。那么，本文主要介绍连续分布之间的一些关系。
伽马分布与泊松分布的关系
假设X∼gamma(α,β),Y∼Poisson(x/β)，当α是整数的时候，下面等式成立：
P(X≤x)=P(Y≥α)
伽马分布与卡方分布的关系
服从形状参数为α，尺度参数为β的伽马分布的概率密度函数pdf可以表示为：
f(x)=x(α−1)e(−x/β)Γ(α)βα
现在，我们假设
α=p/2，其中
p是整数且
β=2，那么此时的概率密度函数可以表示为：
f(x)=x(p/2−1)e(−x/2)Γ(p/2)2p/2,0<x<∞
显然，此时的概率密度函数
pdf服从自由度为
p的卡方分布的
pdf。
伽马分布与指数分布的关系
当伽马分布中的形式参数α=1时，概率密度函数变为：
f(x)=e(−x/β)β,0<x<∞
显然，此时的概率密度函数就是参数为
β的指数分布密度函数的
pdf。
韦伯分布与指数分布、瑞利分布的关系
比例参数为λ，形状参数为k的韦伯分布的概率密度函数为：
f(x)=kλ(xλ)k−1e−(x/λ)k,x≥0
当
λ=1时，它是指数分布；当
λ=2时，它是瑞利分布。
贝塔分布与均匀分布的关系
参数为α,β的贝塔分布的概率密度函数为：
f(x)=1B(α,β)xα−1(1−x)β−1,0<x<1,α>0,β>0,B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)
当
α=β=1时，此时退化成了区间在
0到1的均匀分布。
正态分布与柯西分布的关系
位置参数为x0，尺度参数为γ的柯西分布的概率密度函数为：
f(x)=1πγ[1+(x−x0γ)2]
当
x0=0,γ=1时则是标准柯西分布。
- 关系：两个标准正态分布函数的比值服从标准柯西分布。
其它关系式
假设Uj是独立同分布于区间0到1的均匀分布，由文章《连续分布的产生》可以得到：Yi=−λlog(Ui)是独立同分布于指数分布的随机变量。那么由指数分布与其它分布的关系推导得到如下的表达式：
Y=−2∑j=1vlog(Uj)∼χ22vY=−β∑j=1αlog(Uj)∼gamma(α,β)Y=∑aj=1log(Uj)∑a+bj=1log(Uj)∼beta(a,b)
很显然，我们可以先通过均匀分布产生指数分布，然后利用指数分布与其它分布的关系来生成对应的分布。因此，知道分布之间的关系就很容易由已知的分布得到要求的分布。
