思考题
2-1 （在归并排序中对小数组采用插入排序） 虽然归并排序的最坏情况运行时间为Θ（nlgn），而插入排序的最坏情况运行时间为Θ（n2），但是插入排序中的常量因子可能使得它在n较小时，在许多机器上实际运行得更快。因此，在归并排序中当子问题变得足够小时，采用插入排序来使递归的叶变粗是有意义的。考虑对归并排序的一种修改，
39其中使用插入排序来排序长度为k的n/k个子表，然后使用标准的合并机制来合并这些子表，这里k是一个待定的值。
a.证明：插入排序最坏情况可以在Θ（nk）时间内排序每个长度为k的n/k个子表。
b.表明在最坏情况下如何在Θ（nlg（n/k））时间内合并这些子表。
c.假定修改后的算法的最坏情况运行时间为Θ（nk+nlg（n/k）），要使修改后的算法与标准的归并排序具有相同的运行时间，作为n的一个函数，借助Θ记号，k的最大值是什么？
d.在实践中，我们应该如何选择k？
2-2 （冒泡排序的正确性） 冒泡排序是一种流行但低效的排序算法，它的作用是反复交换相邻的未按次序排列的元素。
BUBBLESORT(A)
1 for i = 1 to A.length - 1
2 for j = A.length downto i + 1
3 if A［j］ < A［j - 1］
4 exchange A［j］ with A［j - 1］
a.假设A′表示BUBBLESORT(A)的输出。为了证明BUBBLESORT正确，我们必须证明它将终止并且有：
A′［1］≤A′［2］≤…≤A′［n］（2.3）
其中n=A.length。为了证明BUBBLESORT确实完成了排序，我们还需要证明什么？
下面两部分将证明不等式（2.3）。
b.为第2～4行的for循环精确地说明一个循环不变式，并证明该循环不变式成立。你的证明应该使用本章中给出的循环不变式证明的结构。
c.使用（b）部分证明的循环不变式的终止条件，为第1～4行的for循环说明一个循环不变式，该不变式将使你能证明不等式（2.3）。你的证明应该使用本章中给出的循环不变式证明的结构。
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d.冒泡排序的最坏情况运行时间是多少？与插入排序的运行时间相比，其性能如何？
2-3 （霍纳（Horner）规则的正确性） 给定系数a0,a1,…,an和x的值，代码片段
1 y = 0
2 for i = n downto 0
3 y = ai + x·y
实现了用于求值多项式
P（x)=∑nk=0akxk=a0+x（a1+x（a2+…+x（an-1+xan）…））
的霍纳规则。
a.借助Θ记号，实现霍纳规则的以上代码片段的运行时间是多少？
b.编写伪代码来实现朴素的多项式求值算法，该算法从头开始计算多项式的每个项。该算法的运行时间是多少？与霍纳规则相比，其性能如何？
c.考虑以下循环不变式：
在第2～3行for循环每次迭代的开始有
y=∑n-（i+1）k=0ak+i+1xk
把没有项的和式解释为等于0。遵照本章中给出的循环不变式证明的结构，使用该循环不变式来证明终止时有
y=∑nk=0akxk。
d.最后证明上面给出的代码片段将正确地求由系数a0,a1,…,an刻画的多项式的值。
2-4 （逆序对） 假设A［1..n］是一个有n个不同数的数组。若iA［j］，则对偶（i，j）称为A的一个逆序对（inversion）。
a.列出数组〈2,3,8,6,1〉的5个逆序对。
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b.由集合{1，2，…，n}中的元素构成的什么数组具有最多的逆序对？它有多少逆序对？
c.插入排序的运行时间与输入数组中逆序对的数量之间是什么关系？证明你的回答。
d.给出一个确定在n个元素的任何排列中逆序对数量的算法，最坏情况需要Θ（nlgn）时间。（提示：修改归并排序。）
《计算机程序设计艺术》第1卷第3版英文影印版已由机械工业出版社出版，ISBN 978-7-111-22709-0。——编辑注
《计算机程序设计艺术》第3卷第2版英文影印版已由机械工业出版社出版，ISBN 978-7-111-22717-5。——编辑注
