用于连续波雷达的二进制频移键控——论文阅读

用于连续波雷达的二进制频移键控

N. Levanon and I. I. Cohen, "Binary Frequency Shift Keying for Continuous Waveform Radar," in IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 53, no. 5, pp. 2462-2468, Oct. 2017, doi: 10.1109/TAES.2017.2700919.

本文由Nadav Levanon与Itzik (Izchak) Cohen共同撰写，发表于IEEE航空航天与电子系统汇刊。文章的核心贡献在于提出并详细阐述了一种新型的、基于二进制频移键控（BFSK）的连续波（CW）雷达波形。该波形结合了二进制序列的优良相关特性，旨在克服传统调制方式（如移相键控PSK）在频谱效率和系统实现上的局限性，从而在保持恒定发射功率的同时，实现近乎理想的距离探测性能。

一、 引言：为何需要新的波形？

在连续波雷达系统中，为了实现距离分辨，通常需要对发射信号进行编码调制。传统的二进制移相键控（BPSK）是一种常用技术，它利用m序列或勒让德序列等具有理想自相关特性的序列进行相位调制。当接收信号经过匹配滤波器处理时，可以得到“完美周期自相关”（PPAC）特性，即其周期自相关函数（PAC）仅在零延迟处有高峰值，而在其他延迟位置（旁瓣）均为零。周期自相关函数的数学定义为：

$$R_{s}[n]=\sum_{k=0}^{N-1}s[n+k]s^{*}[k] \quad (\text{mod } N)$$

理想情况下，其函数形式为周期性的狄拉克δ函数，能量集中在主峰E：

$$R [n] = E \delta [n \text{ mod } N]$$

然而，BPSK波形存在一个固有的严重缺陷：频谱效率低下。其信号频谱具有较宽的主瓣和缓慢衰减的旁瓣，这不仅容易对邻近频段的无线电设备造成干扰，也对雷达接收机的采样率提出了更高的要求，以避免频谱混叠破坏信号的相关性。为了抑制频谱旁瓣，一种改进方法是采用脉冲成形技术，例如高斯窗Sinc（GWS）函数来平滑码元的矩形边界。但这会引入新的问题：信号的包络不再是恒定的，会产生幅度起伏，这就要求发射机必须采用昂贵且效率较低的线性功率放大器，对于追求高效率、低成本的系统而言是一个重大障碍。

正是在这样的背景下，本文的研究者们开始探索一种能够同时满足恒定包络与频谱纯净这两个核心要求的波形。他们将目光投向了二进制频移键控（BFSK）。与脉冲雷达不同，周期性的连续波没有脉冲的上升沿和下降沿，这两个部分是产生频谱展宽的重要因素。因此，CW体制为设计频谱纯净的波形提供了天然的优势。

图1 形象地展示了本文提出的编码CW雷达系统的基本工作原理。

• 图1描述：该图顶部描绘了雷达连续不断发射的编码波形，它由一个个相同的、长度为N的编码周期（例如BFSK或BPSK）拼接而成。中间三条线则代表接收机内部用于信号处理的参考波形。最简单的是均匀加权的参考波形，它截取了有限个（P个）周期。为了抑制多普勒处理时产生的旁瓣，可以对这P个周期进行幅度加权，例如采用平滑的连续汉明窗或更易于数字实现的阶梯状汉明窗。这种加权处理虽然会带来微小的信噪比损失和多普勒主瓣展宽，但能显著提升对不同速度目标的分辨能力。

表I 则清晰地对比了脉冲编码与连续波编码在几个关键特性上的差异。

• 表I描述：该表格对比了脉冲雷达和连续波雷达在使用编码波形时的五个核心区别。
  1. 上升/下降时间: 脉冲存在，CW不存在。这是CW频谱更纯净的根本原因之一。
  2. 失配滤波器: 在脉冲雷达中，失配滤波器的长度可以比脉冲本身更长以优化性能；而在周期CW中，其长度必须与信号周期严格相等。
  3. 完美延迟响应 (零旁瓣): 对于单个脉冲，除非使用互补码对，否则无法实现零旁瓣。而对于周期CW信号，这是可以达到的。
  4. 影响: 脉冲的边沿会产生更高的频谱旁瓣。
  5. 实现方式: 更长的失配滤波器能换取更低的延迟旁瓣。而CW的完美响应则需要对信号和参考进行特定的编码设计。

本文所提出的BFSK波形，正是利用了CW的这些优势，旨在实现以下两种卓越的距离响应：

1. 理想周期自相关 (IPAC): 使用匹配滤波器时，自相关函数呈现双值特性，即一个高主峰和均匀的低旁瓣基座。
   $$R_{s}[n]=\begin{cases}E,&n~mod~N=0\\ F,&elsewhere\end{cases}$$
2. 完美周期互相关 (PPCC): 使用一个特殊设计的失配参考波形 $h[n]$ 时，可以实现完全无旁瓣的响应，但会牺牲一定的信噪比。
   $$R_{sh} [n] = \sum_{k=0}^{N-1}s[n+k]h^{*}[k \text{ mod } N] = E\delta[n \text{ mod } N]$$

图2 直观地证明了BFSK在频谱特性上的优越性。

• 图2描述：该图对比了码长为103的BPSK和BFSK波形的功率谱密度。横轴是归一化频率（乘以码元宽度 $t_b$）。可以清晰地看到，BPSK（蓝色曲线）的第一个频谱零点出现在 $ft_b=1$ 处，且旁瓣衰减非常缓慢。相比之下，BFSK（红色曲线）的主瓣更窄，第一个零点在 $ft_b=0.75$ 处，并且其后续旁瓣以快得多的速度衰减。这充分说明了BFSK波形具有更高的频谱利用率和更低的邻道干扰潜力。

二、 BFSK波形的核心设计

该波形设计的基石是具有优良周期自相关特性的二进制序列，例如m序列或勒让德序列。勒让德序列的长度 $N$ 可以是任何满足 $N=4k-1$ 形式的奇素数（k为正整数），这为码长的选择提供了相当大的灵活性。

设计的核心步骤是将一个二进制相位序列 $\phi{n} \in {0, \pi}$ 转换为一个二进制频率序列 $f{n}$。这一转换通过一个精妙的**异或（XOR）**运算（即模2加法）完成：

$$2t_{b}f_{n}=(\frac{1}{\pi}\phi_{n})\oplus(\frac{1}{\pi}\phi_{(n+1)mod~N})$$

其中，$t_b$ 是每个码元的持续时间。这个公式的物理意义是，当前码元的频率值取决于当前相位码元与下一个相位码元的逻辑关系。

我们以一个长度为23的勒让德相位序列（值为0或1）为例来演示这个过程：
$\Phi_n/\pi = {1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1}$
将这个序列代入上述转换公式，逐个计算（例如，第一个频率码元由第1和第2个相位码元异或得到：1⊕1=0，但由于序列是循环的，最后一个频率码元由第23和第1个相位码元异或得到：1⊕1=0），最终得到的归一化频率序列为：
$2t_b f_n = {0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0}$ (注：原文给出的序列有误，此处为根据公式正确推算的结果)

图3 展示了由这个频率序列调制的BFSK信号在一个周期内的特性及其匹配滤波结果。

• 图3描述：此图详细展示了一个周期（长度N=23）的BFSK信号。
  • 顶部图（幅度）: 显示信号幅度在整个周期内保持为1，即恒定包络特性。
  • 中部图（频率）: 显示信号的瞬时频率在两个离散值之间跳变，跳变规律由上面计算出的频率序列决定。
  • 底部图（周期自相关）: 这是将该信号与其自身进行匹配滤波后的输出。可以看到，除了在延迟为0和23的整数倍处出现尖锐的主峰外，其他所有延迟位置的旁瓣形成了一个非常平坦的基座，其电平恰好是 $1/N$（对于N=23，即 $10\log{10}(1/23) \approx -13.6$ dB，图中电平为-27.23dB可能是 $20\log{10}(1/23)$，表示电压比），这正是“理想周期自相关”的特征。

要实现旁瓣完全为零的“完美”响应，则需要引入失配滤波的思想，如图4所示。

• 图4描述：此图揭示了实现完美周期互相关（PPCC）的奥秘。
  • 中部图（信号与参考频率）: 发射信号与参考信号具有完全相同的频率调制规律。
  • 顶部图（参考信号幅度）: 关键在于参考信号的幅度不再是恒定的，而是进行了“开-关”（ON-OFF）调制。调制的码型与频率码型完全相同。即，当频率为高频（码元为“1”）时，参考信号幅度为1；当频率为低频（码元为“0”）时，参考信号幅度为0。
  • 底部图（周期互相关）: 当发射信号与这个经过特殊幅度调制的参考信号进行互相关处理后，结果令人惊叹：所有的旁瓣都消失了，只留下一个干净的主峰。这种完美性能的代价是，由于参考信号在一半的时间里（勒让德序列中0和1的数量约各占一半）是关闭的，导致接收信号的能量损失了一半，信噪比恶化了约3 dB。

从频率转换关系可以推断出，两个频率状态之间的频率步进 $\delta f$ 精确地等于码元速率的一半，即 $\delta f = \frac{1}{2t_b}$。这意味着在一个码元“1”的持续时间内，信号的相位会比码元“0”多累积恰好半个周期（$\pi$弧度）。这对于保持码元边界的相位连续性至关重要。

$$n_{c}(1)=t_{b}(f_{c}+\delta f)=t_{b}(f_{c}+\frac{1}{2t_{b}})=t_{b}f_{c}+\frac{1}{2} = n_c(0) + \frac{1}{2}$$

这个精确的半周期关系是实现理想/完美相关性的物理基础，但它也对频率合成器的精度和稳定性提出了极高的要求。

图5 通过仿真展示了这种设计的脆弱性。

• 图5描述：该图展示了频率步进 $\delta f$ 存在微小误差时对完美互相关性能的灾难性影响。顶部图显示，当频率步进有0.5%的误差时（例如，设计的50 MHz步进变成了50.25 MHz），原本为零的旁瓣抬升到了-40 dB左右。底部图显示，即使误差缩小到0.2%（50.1 MHz），旁瓣电平依然在-50 dB左右，远差于理论上的无穷抑制。这强调了在实际硬件实现中，必须使用高精度的频率源。

图6 和 图7 则给出了一个具体的信号实例，以帮助理解其时域和频域形态。

• 图6描述：此图展示了采用FSK 11码（一种11位长的序列）的信号，连续4个周期的频率随时间演变的图像。可以看到频率在两个固定值之间（归一化后为0.5和1）根据编码序列进行切换。
• 图7描述：此图是与图6对应的真实中频信号波形（截取了前两个周期）。可以观察到，信号是连续的，没有相位突变。在码元切换的边界处，信号的相位平滑过渡。通过仔细观察，可以发现在高频码元期间，信号振荡的周期数确实比低频码元期间多半个周期，这与理论公式完全吻合。

三、 延迟-多普勒响应分析与处理考量

雷达信号处理的最终目的是生成一幅延迟-多普勒二维图像，以同时测量目标的距离和速度。

图8 展示了使用长码（勒让德1019）的BFSK波形在匹配滤波（参考波形经过汉明窗加权）后的理想延迟-多普勒响应。

• 图8描述：这是一幅三维的延迟-多普勒模糊函数图。
  • 延迟轴（$\tau/t_b$）: 在零多普勒切面上（即正对我们的平面），可以看到一个非常低的、均匀的旁瓣“基座”，其电平约为 $-60.16 \text{ dB}$，这与理论值 $20\log(1/1019)$ 完全一致。
  • 多普勒轴（$\nu PT_r$）: 在零延迟切面上（即纵向平面），由于汉明窗的作用，多普勒旁瓣被有效抑制在-40 dB以下。
  • 周期性模糊: 在远离主峰的多普勒位置（例如 $\nu PT_r = 32$ 处），会出现周期性的模糊脊，这是周期波形的固有特性。

图9 则显示了采用失配参考信号（“开-关”调制加汉明窗）后得到的完美延迟-多普勒响应。

• 图9描述：这同样是一幅延迟-多普勒图，但其特性与图8有本质区别。
  • 延迟轴: 在零多普勒切面上，除了中央的主峰之外，没有任何旁瓣，整个基底是平坦的零电平。这实现了完美的距离探测，不会产生虚警。
  • 多普勒轴: 同样地，多普勒旁瓣被汉明窗抑制。
  • 代价: 为了获得这种完美的距离响应，整个响应（包括主峰）的幅度降低了4.5 dB，这是由失配滤波（~3 dB）和汉明窗加权（~1.5 dB）共同造成的信噪比损失。

在进行多普勒处理时，还有一个必须考虑的精细问题：信号的相位周期性。由于勒让德序列中“1”和“0”的数量并不完全相等（通常相差1），如果接收机的本振参考频率设置在两个BFSK频率的正中间，那么在一个编码周期结束后，信号的相位会有一个净的累积，而不是恰好回归到0（模$2\pi$）。

图10 以勒让德11码为例，生动地展示了这一现象。

• 图10描述：
  • 底部图（频率）: 频率在归一化的 $\pm1/4$ 之间对称切换，表示参考频率位于正中心。
  • 顶部图（相位）: 相位在每个码元期间线性变化 $\pm\pi/2$。由于该序列中“1”比“0”多一个，经过一个周期（11个码元）后，总相位相对于起点净累积了 $+\pi/2$。这意味着信号的相位周期实际上是4个编码周期，因为需要4个周期才能让总相位累积到 $2\pi$。这会在后续的多普勒FFT处理中引入一个大小为 $1/(4T_r)$ 的虚假固定频移。

为了消除这个虚假频偏，论文提出对参考频率进行微小的偏移。偏移后的两个归一化频率不再对称，而是遵循以下公式：

$$ft_{b}=\pm\frac{1}{4}(1\mp\frac{1}{N})$$

图11 展示了采用这种偏移参考频率后的效果。

• 图11描述：
  • 底部图（频率）: 频率在非对称的 $5/22$ 和 $-6/22$ 之间切换，这正是根据N=11代入上述公式得到的结果。
  • 顶部图（相位）: 经过这个巧妙的调整后，相位在一个编码周期结束时，都精确地回到了 $2\pi$ 的整数倍，从而使得相位周期与编码周期严格相等。这样就避免了虚假多普勒频移的产生。

四、 多址能力与结论

在现代雷达应用中，如多基地雷达网络，常常需要多个发射机同时工作而不互相干扰。这就要求所设计的波形具有良好的可分离性或多址能力。

图12 通过计算两个码长相近（$N_1=1019, N_2=1031$）的BFSK波形之间的非周期互相关（a-PCC），验证了该波形的这一重要特性。

• 图12描述：图中绘制了两条曲线。黑色曲线是长度为1019的信号自身的自相关函数，呈现出高主峰和波动的旁瓣。粉色曲线则是该信号与一个长度为1031的信号之间的互相关函数。可以看到，互相关的峰值比自相关的峰值低了整整45 dB。这个巨大的差异意味着，接收机在处理自己期望的信号时，来自其他发射机的信号只会被当作非常微弱的噪声，从而实现了有效的信号分离。

结论

本文成功地设计并验证了一种用于连续波雷达的新型恒定幅度、二进制频率编码周期波形。

• 核心优势: 它基于勒让德二进制序列，具有出色的频谱效率，远优于传统的BPSK波形。
• 性能灵活: 通过选择匹配或失配的参考滤波器，系统可以灵活地在“理想响应”（有极低旁瓣）和“完美响应”（完全无旁瓣但有信噪比损失）之间切换。
• 实现挑战: 该波形对频率源的精度和稳定性要求极高，但由于仅在两个离散的频率点上工作，因此对压控振荡器（VCO）的稳定性要求远高于对其线性度的要求。
• 应用前景: 该波形具有良好的多址能力，非常适合在多发射机、网络化的复杂雷达场景中使用。

附录：关键数学推导

1. 勒让德序列的理想自相关特性

勒让德序列 $L(n)$ 是一种长度为奇素数 $N$ 的二进制序列。其元素定义与二次剩余相关。对于 $1 \le n \le N-1$，如果 $n$ 是模 $N$ 的二次剩余（即存在整数 $x$ 使得 $x^2 \equiv n \pmod N$），则 $L(n)=+1$；否则 $L(n)=-1$。通常定义 $L(0)=0$ 或 $1$。

其关键的周期自相关（PAC）性质是，对于任意非零延迟 $\tau \ne 0 \pmod N$：
$$R_L(\tau) = \sum_{n=0}^{N-1} L(n) L(n+\tau)$$
可以证明，对于所有 $\tau \ne 0$，这个和的值是一个常数 $-1$。
而对于零延迟 $\tau=0$：
$$R_L(0) = \sum_{n=0}^{N-1} L(n)^2 = N$$
这就是勒让德序列（及其 bipolar {-1, +1} 形式）具有理想双值自相关函数 $R_L(\tau)={N, -1}$ 的原因。这是本文所提波形能够实现理想旁瓣基座的数学基础。

2. 从相位码到频率码的转换推导 (公式5)

我们来深入分析这个转换公式：$2t{b}f{n}=(\frac{1}{\pi}\phi{n})\oplus(\frac{1}{\pi}\phi{(n+1)mod~N})$。
令 $p_n = \frac{1}{\pi}\phi_n \in {0, 1}$ 为二进制相位序列，令 $c_n = 2t_b f_n \in {0, 1}$ 为归一化的二进制频率序列。
则有 $c_n = pn \oplus p{n+1}$。

信号的复包络可以表示为 $s(t) = \exp(j\theta(t))$，其中瞬时角频率为 $\omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt} = 2\pi f(t)$。
在第 $n$ 个码元内（即 $(n-1)t_b \le t \le nt_b$），频率 $f(t) = fn$ 是恒定的。
我们定义两个频率状态为 $f{LOW}$ 和 $f_{HIGH}$。当 $c_n=0$ 时，$fn=f{LOW}$；当 $c_n=1$ 时，$fn=f{HIGH}$。
频率步进 $\delta f = f{HIGH} - f{LOW}$。
从 $c_n = 2t_b fn$ 可知，如果我们将 $f{LOW}$ 设为0，那么 $f_{HIGH} = 1/(2t_b)$，即 $\delta f = 1/(2t_b)$。

现在我们来看相位累积。在第 $n$ 个码元期间，相位变化量为：
$$\Delta\theta_n = \int_{(n-1)t_b}^{nt_b} 2\pi f_n dt = 2\pi f_n t_b$$
当 $c_n=0$ ($fn=f{LOW}=0$) 时，$\Delta\theta_n = 0$。
当 $c_n=1$ ($fn=f{HIGH}=1/2t_b$) 时，$\Delta\theta_n = 2\pi \frac{1}{2t_b} t_b = \pi$。

这意味着，频率序列中的“1”对应着一个码元内 $\pi$ 的相位累积，而“0”对应着0的相位累积（相对于基准频率）。
我们再来看原始相位序列 $pn$。它通常通过对勒让德序列积分（模2）得到，即 $p{n+1} = p_n \oplus L_n$。
那么 $c_n = pn \oplus p{n+1} = p_n \oplus (p_n \oplus L_n) = L_n$。
通过“异或”差分编码，最终的BFSK频率序列在本质上等同于原始的勒让德序列！ 这也解释了为什么BFSK波形继承了勒让德序列的优良相关性。

3. 失配滤波实现完美互相关的数学原理

令 $s(t)$ 为发射的恒定包络BFSK信号，其在第 $n$ 个码元的值由勒让德序列 $L_n \in {-1, +1}$ 决定（例如，$L_n=1$ 对应高频，$L_n=-1$ 对应低频）。
令 $h(t)$ 为失配的参考信号。它的频率调制与 $s(t)$ 完全相同，但其幅度由一个 unipolar 序列 $U_n \in {0, 1}$ 控制。这个 $U_n$ 是由 $L_n$ 直接映射而来：$U_n = (L_n+1)/2$。即 $L_n=1 \implies U_n=1$, $L_n=-1 \implies U_n=0$。（注：原文描述略有出入，此为更精确的数学关系）。

周期互相关函数可以写为：
$$R_{sh}(\tau) = \sum_{n=0}^{N-1} s_{complex}(n) \cdot h_{complex}^*(n-\tau)$$
在数字处理中，可以简化为序列的互相关。令 $s_n$ 代表信号在第n个码元的复数值， $h_n$ 代表参考在第n个码元的复数值。
$s_n = \exp(j \omega_0 t_b \cdot L_n)$ （简化模型，$\omega_0$是某个基础角频率）
$h_n = U_n \cdot \exp(j \omega_0 t_b \cdot L_n)$

互相关计算变为：
$$R_{sh}(\tau) = \sum_{n=0}^{N-1} \exp(j \omega_0 t_b L_n) \cdot \left[ U_{n-\tau} \exp(j \omega_0 t_b L_{n-\tau}) \right]^*$$
$$= \sum_{n=0}^{N-1} U_{n-\tau} \cdot \exp\left[j \omega_0 t_b (L_n - L_{n-\tau})\right]$$

当 $\tau=0$ 时：
$$R_{sh}(0) = \sum_{n=0}^{N-1} U_n \cdot \exp(0) = \sum U_n = \text{序列中“1”的个数} = (N+1)/2$$
这形成了主峰。

当 $\tau \ne 0$ 时，该求和项是 unipolar 序列 $U$ 与一个复指数序列的乘积之和。可以证明，勒让德序列（或m序列）的 unipolar 版本与 bipolar 版本的任意循环移位的互相关函数是一个常数。更具体地说，bipolar 序列与 unipolar 序列的互相关为零旁瓣。这个性质保证了当 $\tau \ne 0$ 时，$R{sh}(\tau)=0$。这正是“完美周期互相关”的数学根源，其代价就是求和项中 $U{n-\tau}$ 使得约一半的项被置零，从而导致了能量损失。