基于信息论的OTFS雷达波形设计

Miao, Q.; Kuang, L.; Zhang, G.; Shao, Y. OTFS Radar Waveform Design Based on Information Theory. Entropy 2025, 27, 211.

1. 引言与研究背景

正交时频空间（Orthogonal Time-Frequency Space, OTFS）调制是一种革命性的二维调制方案，它在延迟-多普勒域中进行信号处理，相比于传统的正交频分复用（OFDM）在时频域的处理方式，OTFS在高移动性信道环境中展现出显著优势。本研究首次将条件互信息（Conditional Mutual Information, CMI）作为OTFS波形设计的准则，建立了信息论与雷达波形优化之间的桥梁。

OTFS技术的核心优势在于其固有的多普勒容忍特性。在传统雷达系统中，高速移动目标产生的多普勒效应会严重影响系统性能，而OTFS通过在延迟-多普勒域进行信号设计，能够自然地适应这种快速变化的信道环境。此外，OTFS提供了更高的延迟-多普勒分辨率，使得在复杂的多目标场景中能够准确分辨和跟踪各个目标。

信息论在雷达波形设计中的应用可以追溯到Bell的开创性工作。条件互信息被选择作为设计准则，因为它能够量化在给定先验知识（目标反射率和噪声特性）的情况下，雷达系统可以从目标获取多少信息。这个度量直接关联到雷达的目标检测、识别和跟踪能力。

2. OTFS雷达系统建模与理论框架

2.1 扩展目标模型

扩展目标与点目标的根本区别在于其回波携带了目标的结构信息。对于包含$P$个散射中心的扩展目标，其无噪声回波可以表示为：

$$r(t) = \sum_{p=1}^{P} \alpha_p \exp\left(j2\pi f_{d_p}t\right) x\left(t - \tau_p\right)$$

其中：

• $x(t)$是OTFS调制的发射信号
• $\alpha_p$是第$p$个散射中心的复散射系数
• $f_{d_p}$是第$p$个散射中心产生的多普勒频移
• $\tau_p$是第$p$个散射中心的往返延迟

目标在延迟-多普勒域的冲激响应表征为：

$$\rho(\tau, f_d) = \sum_{p=1}^{P} \alpha_p \delta\left(\tau - \tau_p\right) \delta\left(f_d - f_{d_p}\right)$$

这个表示清晰地展示了扩展目标在二维延迟-多普勒平面上的分布特性。

2.2 OTFS雷达系统架构

图1描述：OTFS雷达系统框图

图1展示了完整的OTFS雷达信号处理流程。系统分为发射端和接收端两个主要部分：

发射端处理流程：

1. 延迟-多普勒域发射矩阵$\chi \in \mathbb{C}^{M \times N}$首先经过逆辛有限傅里叶变换（ISFFT）
2. 转换得到时频域发射矩阵$\hat{\chi} \in \mathbb{C}^{M \times N}$
3. 通过海森堡变换（Heisenberg Transform）生成时域连续信号$x(t)$

接收端处理流程：

1. 接收信号$r(t)$包含目标反射和噪声
2. 通过维格纳变换（Wigner Transform）转换到时频域，得到$\hat{\Upsilon} \in \mathbb{C}^{\hat{N} \times \hat{M}}$
3. 最终通过辛有限傅里叶变换（SFFT）得到延迟-多普勒域接收矩阵$\Upsilon \in \mathbb{C}^{\hat{M} \times \hat{N}}$

2.3 输入输出关系建模

在理想脉冲假设（A1）和无分数多普勒假设（A2）下，接收矩阵与发射矩阵的关系可以精确表示为：

$$\Upsilon[m, n] = \sum_{p=1}^{P} \alpha_p \chi\left[[m - m_p]_M, [n - n_p]_N\right]$$

其中$[\cdot]_M$表示模$M$运算。延迟和多普勒的离散化关系为：

• $\tau_p = m_p \Delta t$，其中$\Delta t$是采样间隔
• $f_{d_p} = \frac{n_p}{NT}$，其中$T$是OTFS块持续时间

通过适当选择观测窗口$\hat{M} \geq M$和$\hat{N} \geq N$，可以避免模运算带来的混叠效应。引入加性高斯白噪声后，系统模型变为：

$$\Upsilon[m, n] = \sum_{p=1}^{P} \alpha_p \chi[m - m_p, n - n_p] + \mathcal{N}[m, n]$$

3. 基于条件互信息的波形优化理论

3.1 条件互信息推导

定义目标散射系数向量$\boldsymbol{\alpha} = [\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_P]^T$。在以下统计假设下：

• (B1) $\boldsymbol{\alpha}$是零均值高斯随机向量，协方差矩阵$\Sigma\alpha = \text{diag}{\sigma{\alpha1}^2, \ldots, \sigma{\alpha_P}^2}$
• (B2) 噪声$\mathcal{N}$是方差为$\sigma_n^2$的加性高斯白噪声

将OTFS发射矩阵扩展定义，当$m < 0$或$n < 0$时，$\chi[m,n] = 0$。组织$\chi$为列向量形式$\chi = [\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_N]$，每个$\mathbf{x}_i \in \mathbb{C}^{M \times 1}$。

定义OTFS发射移位矩阵$\mathbf{Q}_p(\chi) \in \mathbb{C}^{\hat{M} \times \hat{N}}$：

$$\mathbf{Q}_p(\chi) = \begin{bmatrix} \mathbf{0}_{M \times n_p} \\ \mathbf{0}_{m_p \times \hat{N}} \\ \chi \\ \mathbf{0}_{(\hat{M}-M-m_p) \times \hat{N}} \\ \mathbf{0}_{M \times (\hat{N}-n_p-N)} \end{bmatrix}$$

向量化后的系统模型为：

$$\mathbf{y} = \mathbf{Q}(\chi)\boldsymbol{\alpha} + \mathbf{n}$$

其中$\mathbf{Q}(\chi) = [\mathbf{q}_1(\chi), \mathbf{q}_2(\chi), \ldots, \mathbf{q}_P(\chi)]$。

3.2 CMI表达式与优化问题

根据信息论，条件互信息可以表示为：

$$I(\mathbf{y}; \boldsymbol{\alpha}|\chi) = \log \det\left(\sigma_n^{-2}\Sigma_\alpha \mathbf{Q}(\chi)^H\mathbf{Q}(\chi) + I_{\hat{N}\hat{M}}\right)$$

波形设计的优化问题因此可以形式化为：

$$\begin{aligned} \max_{\chi} \quad & \log \det\left(\sigma_n^{-2}\Sigma_\alpha \mathbf{Q}(\chi)^H\mathbf{Q}(\chi) + I_{\hat{N}\hat{M}}\right) \\ \text{s.t.} \quad & |\chi[i,j]| = 1, \quad \forall i \in \{1,\ldots,M\}, j \in \{1,\ldots,N\} \end{aligned}$$

3.3 与自相关旁瓣和互相关的等价性

根据引理1，当$\mathbf{Q}(\chi)^H\mathbf{Q}(\chi)$为对角矩阵时，CMI达到最大值。定义波形序列的互相关函数：

$$\gamma_{i,j}(z) = \sum_{u=0}^{M-1} x_i^*(u)x_j(u-z) = \gamma_{j,i}^*(-z)$$

矩阵$\mathbf{Q}(\chi)^H\mathbf{Q}(\chi)$的非对角元素$Q_{ij}$可以表示为：

1. 当多普勒相同、延迟不同时：
   $$Q_{ij} = \sum_{n=1}^{N} \gamma_{n,n}(z), \quad z \neq 0$$

2. 当多普勒和延迟都不同时：
   $$Q_{ij} = \sum_{n=1}^{N} \gamma_{n,n+\kappa}(z), \quad \kappa \neq 0$$

定义ASaCC（自相关旁瓣和互相关）度量：

$$\zeta = \sum_{n=1}^{N} \sum_{\substack{z=-M+1\\z \neq 0}}^{M-1} |\gamma_{n,n}(z)|^2 + \sum_{n_1=1}^{N} \sum_{\substack{n_2=1\\n_2 \neq n_1}}^{N} \sum_{z=-M+1}^{M-1} |\gamma_{n_1,n_2}(z)|^2$$

4. Multi-CAN优化算法

4.1 算法设计原理

Multi-CAN（Multiple Cyclic Algorithm-New）算法结合了循环搜索和梯度优化的优势。算法的核心思想是通过迭代优化每个波形元素，同时保持恒模约束。

4.2 算法实现步骤

算法: Multi-CAN for OTFS Waveform Design
输入: 初始波形矩阵 χ₀, 最大迭代次数 K, 收敛阈值 ε
输出: 优化的波形矩阵 χ*

1: 初始化 χ = χ₀
2: for k = 1 to K do
3:     for i = 1 to M do
4:         for j = 1 to N do
5:             固定 χ 中除 χ[i,j] 外的所有元素
6:             计算 ∂ζ/∂χ[i,j]
7:             更新 χ[i,j] 使得 |χ[i,j]| = 1 且 ζ 减小
8:         end for
9:     end for
10:    if |ζₖ - ζₖ₋₁| < ε then
11:        break
12:    end if
13: end for
14: return χ* = χ

5. 仿真结果与性能分析

5.1 系统参数设置

仿真采用以下参数：

• 载频: $f_c = 10$ GHz
• 带宽: $B = 100$ MHz
• 脉冲持续时间: $T_p = 10$ μs
• 脉冲重复频率: $PRF = 100$ kHz
• OTFS帧大小: $M = 64$, $N = 5$
• 调制阶数: 4-QAM
• 编码率: $R = 1/2$

5.2 相关特性分析

图2描述：Multi-CAN优化结果的相关系数

图2展示了经过Multi-CAN优化后的波形相关特性：

(a) 自相关系数：图中蓝色曲线表示初始随机波形的自相关，橙色曲线表示优化后波形的自相关。可以观察到，优化后的波形在零延迟处保持主瓣峰值为0 dB，而旁瓣电平从约-15 dB降低到-25 dB，实现了约10 dB的改善。

(b) 互相关系数：展示了不同多普勒通道之间的互相关特性。优化前的随机波形互相关峰值约为-20 dB，而优化后降低到约-25 dB，改善了约5 dB。

5.3 条件互信息演化

图3描述：CMI随迭代次数的变化

图3展示了三种不同OTFS矩阵尺寸（$M=16,N=3$；$M=32,N=3$；$M=32,N=5$）下CMI随迭代次数的演化过程。关键观察包括：

1. 所有配置下，CMI都随迭代次数单调递增，最终收敛到稳定值
2. 较大的矩阵尺寸（$M=32,N=5$）实现了最高的CMI值（约510 bits）
3. 大部分性能改善在前8次迭代内实现，表明算法具有快速收敛特性

5.4 性能比较

表1展示了不同波形的性能指标比较：

5.5 鲁棒性分析

表2展示了波形设计对关键参数的敏感性：

附录A：条件互信息

A.1 高斯随机向量的互信息

给定线性高斯模型$\mathbf{y} = \mathbf{Q}(\chi)\boldsymbol{\alpha} + \mathbf{n}$，其中$\boldsymbol{\alpha} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \Sigma_\alpha)$，$\mathbf{n} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma_n^2 I)$，且$\boldsymbol{\alpha}$与$\mathbf{n}$相互独立。

首先计算$\mathbf{y}$的协方差矩阵：

$$\mathbf{R}_y = \mathbb{E}[\mathbf{y}\mathbf{y}^H] = \mathbf{Q}(\chi)\Sigma_\alpha\mathbf{Q}(\chi)^H + \sigma_n^2 I$$

条件互信息定义为：

$$I(\mathbf{y}; \boldsymbol{\alpha}|\chi) = h(\mathbf{y}|\chi) - h(\mathbf{y}|\boldsymbol{\alpha}, \chi)$$

其中$h(\cdot)$表示微分熵。

对于高斯随机向量，微分熵为：

$$h(\mathbf{y}|\chi) = \log \det(\pi e \mathbf{R}_y)$$

$$h(\mathbf{y}|\boldsymbol{\alpha}, \chi) = h(\mathbf{n}) = \log \det(\pi e \sigma_n^2 I)$$

因此：

$$\begin{aligned} I(\mathbf{y}; \boldsymbol{\alpha}|\chi) &= \log \det(\mathbf{R}_y) - \log \det(\sigma_n^2 I) \\ &= \log \det\left(\sigma_n^{-2}\mathbf{R}_y\right) \\ &= \log \det\left(I + \sigma_n^{-2}\mathbf{Q}(\chi)\Sigma_\alpha\mathbf{Q}(\chi)^H\right) \end{aligned}$$

A.2 矩阵行列式恒等式

利用Sylvester行列式恒等式：

$$\det(I_m + AB) = \det(I_n + BA)$$

其中$A \in \mathbb{C}^{m \times n}$，$B \in \mathbb{C}^{n \times m}$。

应用到我们的情况：

$$\det\left(I + \sigma_n^{-2}\mathbf{Q}(\chi)\Sigma_\alpha\mathbf{Q}(\chi)^H\right) = \det\left(I + \sigma_n^{-2}\Sigma_\alpha\mathbf{Q}(\chi)^H\mathbf{Q}(\chi)\right)$$

因此最终得到：

$$I(\mathbf{y}; \boldsymbol{\alpha}|\chi) = \log \det\left(\sigma_n^{-2}\Sigma_\alpha\mathbf{Q}(\chi)^H\mathbf{Q}(\chi) + I_P\right)$$

A.3 对角化条件的最优性证明

引理A.1：对于固定的迹$\text{tr}(\mathbf{Q}(\chi)^H\mathbf{Q}(\chi)) = c$，当$\mathbf{Q}(\chi)^H\mathbf{Q}(\chi)$为对角矩阵时，$I(\mathbf{y}; \boldsymbol{\alpha}|\chi)$达到最大值。

证明：设$\mathbf{Q}(\chi)^H\mathbf{Q}(\chi)$的特征值为$\lambda_1, \ldots, \lambda_P$。由于：

$$I(\mathbf{y}; \boldsymbol{\alpha}|\chi) = \sum_{p=1}^{P} \log\left(1 + \sigma_n^{-2}\sigma_{\alpha_p}^2\lambda_p\right)$$

这是关于$\lambdap$的凸函数。在约束$\sum{p=1}^{P}\lambda_p = c$下，当所有$\lambda_p$相等时（即矩阵为对角阵的标量倍数），函数值最大。

附录B：OTFS发射移位矩阵的结构分析

B.1 移位矩阵的构造

对于第$p$个散射体，其对应的移位矩阵$\mathbf{Q}_p(\chi)$可以分解为：

$$\mathbf{Q}_p(\chi) = \mathbf{P}_{m_p} \chi \mathbf{C}_{n_p}$$

其中：

• $\mathbf{P}_{m_p}$是延迟移位矩阵
• $\mathbf{C}_{n_p}$是多普勒移位矩阵

B.2 互相关系数与矩阵元素的关系

格拉姆矩阵$\mathbf{G} = \mathbf{Q}(\chi)^H\mathbf{Q}(\chi)$的第$(i,j)$个元素为：

$$G_{ij} = \mathbf{q}_i^H(\chi)\mathbf{q}_j(\chi)$$

当$i \neq j$时，根据延迟和多普勒的差异，可以分为三种情况：

情况1：无重叠（$|m_i - m_j| > M$或$|n_i - n_j| > N$）
$$G_{ij} = 0$$

情况2：同多普勒不同延迟（$n_i = n_j$，$m_i \neq m_j$）
$$G_{ij} = \sum_{n=1}^{N} \gamma_{n,n}(m_i - m_j)$$

情况3：不同多普勒和延迟
$$G_{ij} = \sum_{n=\max(1, 1-\kappa)}^{\min(N, N-\kappa)} \gamma_{n,n+\kappa}(m_i - m_j)$$

其中$\kappa = n_j - n_i$。

B.3 ASaCC度量的物理意义

ASaCC度量可以分解为两部分：

1. 自相关旁瓣能量：
   $$\text{ASL} = \sum_{n=1}^{N} \sum_{z \neq 0} |\gamma_{n,n}(z)|^2$$

   这部分反映了同一多普勒通道内的距离模糊。

2. 互相关能量：
   $$\text{CCL} = \sum_{n_1 \neq n_2} \sum_{z} |\gamma_{n_1,n_2}(z)|^2$$

   这部分反映了不同多普勒通道之间的串扰。

最小化$\zeta = \text{ASL} + \text{CCL}$等价于同时抑制距离模糊和多普勒串扰，从而最大化目标信息提取能力。