基于ILP的最优PMU放置优化研究（Matlab代码实现）

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💥1 概述

零注入节点 （ZIB） 可以减少为实现完全可观测性而需要安装的相量测量单元 （PMU） 的数量。已经证明，一组相邻的ZIB可以进一步减少所需的PMU数量。与单个 ZIB 相比，除了一些启发式方法外，一组 ZIB 的效果尚未使用数学方法纳入最佳 PMU 放置 （OPP） 模型中。该文提出一种利用整数线性规划方法将一组ZIB效应纳入OPP模型的新方法。还考虑了两种常见的意外情况 - 线路中断和PMU丢失。此外，两种可视化技术用于说明从OPP获得的PMU的位置：（1）使用基于图形的力导向方法和（2）使用地理信息系统在地图上。使用几种小型和大型测试系统验证了所提出的方法，并与其他相关研究进行了比较。

相量测量单元 （PMU） 是智能电子设备，可提供电压和电流的同步相量测量（Mazhari 等人，2013 年）。PMU同步是通过使用全球定位系统（GPS）提供的参考时间信号对电压和电流波形进行时间戳来实现的。PMU是广域测量系统最新技术发展最合适的测量设备（Azizi等人，2013）。限制可安装PMU数量的最具挑战性的障碍是安装成本和通信设施的可用性（Hooshmand等人，2016）。在系统的每条总线上安装PMU既不必要也不经济（Nuqui and Phadke 2005）。安装在总线上的PMU可以测量总线的电压相量（幅度和角度）以及入射到总线中的所有分支电流相量，假设PMU具有足够数量的通道（Manousakis等人，2012）。换句话说，与传统仪表相比，PMU可以使安装它的总线以及所有相邻的总线可观察。最佳 PMU 放置 （OPP） 的目标是确定使整个系统可观察所需的最小 PMU 数量及其位置。

没有发电机或负载的公交车称为零喷射公交车（ZIB）。流向ZIB的所有电流的总和为零。总线集群是一组总线，包括总线本身和所有相邻总线。零注入群集 （ZIC） 是 ZIB 和所有事件总线的组合。ZIB有可能减少完全可观测性所需的PMU安装数量。然而，零注入约束的建模是OPP的主要挑战之一，因为它具有固有的非线性（Dua等人，2008）。

ZIB可分为两种类型：（1）仅连接到负载和/或发电机总线的ZIB，换句话说，其所有相邻总线都是非ZIB;或 （2） 连接到至少一个其他 ZIB 的 ZIB，并且可以形成一组 ZIB。通过考虑第一种ZIB的OPP在文献中被广泛讨论（Aminifar等人，2010年;郭台铭 2008a， b;阿巴西和伊斯梅尔 2009;阿米尼法等人，2011年;查克拉巴蒂和基里亚基德斯 2008;马努萨基斯和科雷斯 2016;黄等， 2014;温等. 2013;阿卜杜勒·拉赫曼和佐巴 2017;阿加伊等人，2015 年）。然而，只有少数研究检查了一组ZIB对OPP模型的影响。这些研究中使用的所有技术都基于智能搜索技术，并且没有包含一组ZIB效应的数学方法。一组ZIB的概念首先由Hajian等人（2007）的作者使用粒子群优化引入。随后，在Aminifar等人（2009）中，作者使用免疫遗传算法来处理一组ZIB。这两项研究的结果表明，考虑一组ZIB可以进一步减少完全可观测性所需的PMU数量。

文献中用于OPP的解决方案可分为两种技术：确定性和启发式。

确定性技术基于模型的数学表示。使用最广泛的确定性技术是整数线性规划（ILP），它可以求解大规模电力系统而不会陷入局部最小值（Gou 2008b;黄等人，2014）。文献中使用的其他确定性技术是整数非线性规划（Gou 2008a），整数二次规划（Chakrabarti等人，2009），加权最小二乘算法（Manousakis和Korres 2013）和基于概率的约束方法（Aminifar等人，2011）。

启发式解决方案是基于搜索的智能方法，用于求解 OPP，而无需模型的数学表示。文献中描述和使用了几种启发式方法，包括遗传算法（Marin 等人，2003 年）、塔布搜索（Koutsoukis 等人，2013 年）、模拟退火（Nuqui 和 Phadke 2005 年）、粒子群优化（Saleh 等人，2017 年）、免疫算法（Aminifar 等人，2009 年）、决策树（Mahmoodianfard 等人，2009 年）和布谷鸟算法（Dalali 和 Kazemi Karegar 2016 年） ).尽管存在一些优点，但启发式方法的主要缺点是这些技术是近似方法，并且由于局部最小值中可能存在陷阱，可能无法实现全局最优（Monti and Muscas 2016）。

另一个重要的考虑因素是从OPP的数值结果中获得的PMU位置的可视化。在文献中，仅使用表格来说明这些位置。对于波兰测试系统等大型电力系统，PMU的最佳位置在以前的研究中尚未报告。相反，仅提及完全可观测性所需的 PMU 数量。操作员或规划人员可能希望查看地图上可视化的放置结果或图表，以了解问题的详细信息并获得对解决方案的一些见解。这促使我们确定一些技术，以图形和地理方式可视化最佳PMU位置。

本文的主要贡献是：（1）开发一种基于ILP技术的数学方法，将一组ZIB的影响纳入OPP模型，以进一步减少可观测性所需的PMU数量;（2）提出不同的可视化技术，分别利用图论和地理信息系统（GIS）以图形和地图方式说明OPP的数值结果;（3）采用大规模和实用的测试系统，如13，659总线欧洲系统和德克萨斯州和田纳西州的综合测试系统。为了处理多种解决方案，测量冗余被纳入OPP中，以实现最大化目标。此外，通过考虑一组ZIB的影响，不同突发事件（如PMU损失或线路中断）的影响也包含在模型中。将获得的结果与其他七项相关研究进行比较。

本文的其余部分组织如下： 以下部分介绍可观测性规则。在第3节中，制定了基本ILP的数学方程。随后，将单个ZIB的影响合并到方程中。所提出的方法以通用公式为例进行描述和表示。数值结果见第4节。可视化技术在第5节中介绍。最后，结论载于第6节。

基于 PMU 的可观测性分析

如果系统的所有状态都是已知的，即直接测量总线电压相量（幅度和角度）或使用电路规则进行计算，则认为系统是可观察的。电力系统的可观测性可分为两类：数值和拓扑（Huang等人，2014）。数值可观测性可以基于状态估计的增益矩阵进行。如果增益矩阵具有完整的列秩，则称系统是完全可观察的。尽管有一些优点，但高计算负担是数值方法的主要缺点。此外，较大的条件数测量矩阵可能导致不准确的求解。如果存在网络全秩的生成树，则认为该系统在拓扑上是可观测的（Huang et al. 2014）。

拓扑可观测性可以通过应用以下通用规则来实现（Hajian et al. 2007）：

1. （一） 如果总线安装了测量该总线电压相量的PMU，则认为该总线可直接观察到。如果该PMU还具有用于测量连接到总线的线路的电流相量的通道，则认为线路电流可直接测量。
   
2. （二） 如果线路一端的电压和电流相量已知，则可以使用欧姆定律计算线路另一端的电压相量。这条具有计算电压相量的总线被认为是间接可观测的。
   
3. （三） 如果线路两端的电压相量直接或间接已知，则可以计算该线路的电流相量，假设线路阻抗已知。该线路电流被认为是可间接测量的。
   
4. （四） 对于单个可观测的ZIB，如果该总线和所有相邻总线的电压相量已知，则可以使用ZIB处的基尔霍夫电流定律计算未知电压相量。
   
5. （五） 对于单个不可观测的ZIB，如果其所有相邻总线的电压相量已知，则ZIB也被认为是可观测的，因为它的电压相量可以使用节点方程计算。
   
6. （六） 对于一组不可观测的ZIB，如果所有相邻总线的电压相量已知，则该组中的所有总线都被认为是可观测的，因为它们的电压相量可以使用节点方程计算。
   

前三个规则是一般规则，可以应用于系统中的任何总线。单个ZIB（ZIB的第1类）的效果由规则（d）和（e）表示。这两个规则可以与以下语句结合使用：如果 ZIC 中的所有总线都是可观察的，除了一条总线之外，也可以使用 ZIB 上的节点方程观察到异常。这表明仅观察(n−1)(n−1)ZIC 中的总线使整个集群可观察，包括不可见的总线，其中 n 是集群中的总线总数。因此，ZIB可以减少完全可观测性所需的PMU数量。最终规则考虑了一组（或多个）ZIB的影响，这可以进一步导致具有较少PMU数量的可观察系统。试图使用ILP将这一规则纳入OPP公式。

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一、研究背景与意义

相量测量单元（PMU）作为现代电力系统的重要传感器设备，能够实时、同步地测量电力网络节点的电压相量和支路电流相量。这些同步相量数据对于实现电力系统状态估计、动态监控、故障诊断和控制等功能至关重要。然而，在电力系统中部署大量的PMU会带来高昂的经济成本。因此，如何在有限预算下实现最优的PMU放置，以最大程度地提高电力系统的可观测性，成为了电力系统研究领域的一个重要课题。

整数线性规划（ILP）作为一种强大的优化工具，在解决复杂约束条件下的组合优化问题方面具有显著优势，因此被广泛应用于PMU放置优化研究中。基于ILP的PMU放置优化模型旨在将PMU的放置问题转化为一个具有约束条件的整数规划问题，通过求解该问题来确定最优的PMU安装位置。

二、ILP模型构建

1. 可观测性定义：在PMU放置优化中，可观测性是衡量PMU配置方案性能的关键指标。为了简化模型，通常采用完全可观测性作为约束条件。这意味着，通过PMU的直接测量以及电压电流关系的推导，能够观测到网络中所有节点的电压相量。
   
2. 目标函数：基于ILP的PMU放置优化模型的目标是最小化PMU的总数量或总成本。目标函数可以表示为：
   

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1. 约束条件：构建约束条件是建立ILP模型的关键环节。常用的方法包括基于拓扑可观测性规则来构建约束方程。拓扑可观测性可以通过应用以下通用规则来实现：

• 如果总线安装了测量该总线电压相量的PMU，则认为该总线可直接观察到。
• 如果线路一端的电压和电流相量已知，则可以使用欧姆定律计算线路另一端的电压相量。这条具有计算电压相量的总线被认为是间接可观测的。
• 如果线路两端的电压相量直接或间接已知，则可以计算该线路的电流相量（假设线路阻抗已知）。该线路电流被认为是可间接测量的。

2. 基于上述规则，可以构建相应的约束方程，确保网络中的所有节点都是可观测的。例如，对于一个简单的三节点网络，假设节点1和节点2之间存在一条支路，则可观测性约束可以表示为：x1+x2≥1（如果节点1或节点2安装了PMU，则该支路可观测）。对于更大的电力系统，可观测性约束的构建会更加复杂，需要考虑网络的拓扑结构、支路的连接关系以及PMU的放置位置。
   
3. 矩阵表示：构建矩阵A和向量b是基于ILP模型中的关键一步，需要根据具体的电力网络拓扑结构和可观测性定义进行设计。其中，A是一个系数矩阵，表示网络的拓扑结构以及PMU对网络可观测性的影响；b是一个常数向量，表示可观测性约束。
   

三、求解方法

ILP模型是一个NP-hard问题，求解的计算复杂度随着网络规模的增加而呈指数级增长。常用的ILP模型求解方法包括精确算法和启发式算法。

1. 精确算法：

• 分支定界法（Branch and Bound）：通过不断分支和剪枝来搜索最优解，适用于规模较小的电力系统。
• 割平面法：通过添加割平面来缩小可行域，提高求解效率。
• 商业求解器：CPLEX、Gurobi等商业求解器具有强大的求解能力，可以用于求解大规模的ILP模型。

2. 启发式算法：由于精确算法在求解大规模电力系统的PMU放置优化问题时存在计算复杂度过高的问题，因此研究者们也开发了多种启发式算法，用于在可接受的时间内获得近似最优解。启发式算法虽然不能保证获得全局最优解，但可以在计算时间和求解质量之间取得较好的平衡，适用于大规模电力系统的PMU放置优化问题。常用的启发式算法包括贪心算法、遗传算法、模拟退火算法、粒子群优化算法等。
   

四、应用拓展

基于ILP的PMU放置优化模型可以进行多种拓展，以适应不同的应用需求：

1. 冗余度约束：为了提高电力系统的可靠性，可以要求某些关键节点或支路具有一定的冗余度。这意味着这些节点或支路必须至少被两个或多个PMU观测到。通过在ILP模型中添加相应的冗余度约束，可以获得具有更高可靠性的PMU配置方案。
2. 测量精度优化：PMU的测量精度会影响状态估计的精度。可以在ILP模型中引入PMU的测量误差模型，并优化PMU的放置位置，以最小化状态估计的误差。
3. 多拓扑结构适应：电力系统运行过程中，网络拓扑结构可能会发生变化，例如线路停运、发电机组切除等。为了保证在不同拓扑结构下电力系统仍然具有可观测性，可以在ILP模型中考虑多种拓扑结构，并优化PMU的放置位置，以适应不同的运行场景。
4. 通信网络约束：PMU需要将测量数据传输到控制中心进行处理和分析。通信网络的容量和可靠性会影响PMU的应用效果。可以在ILP模型中考虑通信网络的约束，例如通信带宽、延迟等，并优化PMU的放置位置，以满足通信系统的要求。
5. 多目标优化：可以将PMU放置优化问题与其他优化目标相结合，例如电压稳定性优化、故障定位优化等，从而实现多目标优化，提高电力系统的综合性能。

五、案例分析

以IEEE 14节点系统为例，应用基于ILP的PMU放置优化模型进行案例分析。通过构建ILP模型并求解，可以得到最优的PMU放置方案。同时，通过与其他研究方法的比较，可以验证基于ILP的PMU放置优化模型的有效性和优越性。

六、研究展望

未来研究可以进一步探索以下几个方面：

1. 大规模电力系统的PMU放置优化：随着电力系统规模的不断扩大，如何高效求解大规模电力系统的PMU放置优化问题将成为未来的研究重点。
2. 动态PMU放置优化：考虑电力系统的动态特性和时变特性，研究动态PMU放置优化方法，以适应电力系统的实时变化。
3. 分布式PMU放置优化：随着分布式发电和微电网的发展，如何实现分布式PMU放置优化将成为未来的研究热点。

📚2 运行结果

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部分代码：

ZIB4=ZIB2;

ZIB40=zeros(length(ZIB4),length(Y1(1,:)));

ZIB40(:,(ZIB4))=1;

ZIB40=sparse(ZIB40);

ZIB2 = unique(ZIB2);

B=zeros(length(Y1(1,:)), length(Y1(1,:)));

B(sub2ind(size(B), ZIB2, ZIB2))=-1; % replacing ZIB-diagonal elements of Y with a unity

B=sparse(B);

D=-Y1(ZIB,:);

Y1=sparse(Y1);

D=sparse(D);

b1=-ones(1,length(Y1(1,:)));

b3=-ones(1,length(Y1(1,:))); % for cases without considering ZIBs

CC=sparse(zeros(size(Y1))); % for cases without considering ZIBs

b10=zeros(size(b1));

b1(ZIB2)=0;

b10(ZIB2)=-1;

C=sparse(zeros(size(D)));

b1=sparse(b1);

b10=sparse(b10);

BA2=zeros(size(Y1));

BA2(ZIB2,:)=Y1(ZIB2,:);

%=========================================================================

k=1; % k=1 for normal operation, k=2 for contingency operation

A=[Y2 -k*B; C -D]; % see the diff. if Y2 is replaced by Y1 (when no ZIB is considered)

b2=-sparse(ZIB3);

b=[k*b1 b2];

Aineq=A;

bineq=b';

% Note: For a system without ZIB or without considering the effect of ZIB:

% either (1) set Z =0 at the beginning above inside the loop AND (2) replace Y2 with Y1 in A matrix above

% or (1) change B to CC AND (2) change b1 to b3 AND (3) delete C D in the lines above AND (4) replace Y2 with Y1 in A matrix above

%===================Redundancy Consideration (weighting)===================

wr=Count2; % redundancy weight

w0=zeros(1,length(Y1(1,:)));

wt=[wr.^1 wr];

wrc=1/length(Y1(1,:));

w1=[wr.^0 w0];

w2=1/length(A(1,:))*(wt')';

f=wrc+1*(1*w1-1*w2); % the minus is to maximize the redundancy

%================================Solver====================================

options = cplexoptimset;

options.Display = 'on';

x= cplexbilp(f,Aineq,bineq,[],[],[]);

t_end=toc; % time in sec. consumed to solve the problem

x2= find(int16(x));

x3= (x2(x2<=length(Y1(1,:))));x3=x3';

x4=zeros(1,length(Y1(1,:))); x4(x3)=1;

PMU_Locations_and_TotalNo=[x3 length(x3)] % OPP results (locations and total of PMUs)

t_end % display time consumed

%================================PLOTTING==================================

S00=Y1;S00=S00(x3,:);S0=sum(S00); % no. of times nodes observed by PMU

S1=-sum(S0); % sum of no. of times observed buses

S2=sum(S0==0); % no. of unobserved buses (but obsrvable through the effect of ZIB)

S3=find((S0==0)); % locations of unobservable nodes

S=[S1 S2];

% SS(i)=sum(sum(Y(:))==0);% maximize no. of S2

%=============================Lines Statistics=============================

ft=[fb tb];

branch_0PMU0=(ft(find(sum(x4(ft)~=0,2)==0)',:))'; % branches with no PMU installed at ends

branch_1PMU0=(ft(find(sum(x4(ft)~=0,2)==1)',:))'; % branches with one PMU installed at ends

branch_2PMU0=(ft(find(sum(x4(ft)~=0,2)==2)',:))'; % branches with two PMU installed at ends

branch_0PMU=reshape(branch_0PMU0, 1, 2*length(branch_0PMU0(1,:)));

branch_1PMU=reshape(branch_1PMU0, 1, 2*length(branch_1PMU0(1,:)));

branch_2PMU=reshape(branch_2PMU0, 1, 2*length(branch_2PMU0(1,:)));

Y1(logical(eye(size(Y1)))) = 0;

G = graph(Y1~=0);

sz=5;

🎉3 参考文献

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。(文章内容仅供参考，具体效果以运行结果为准)

[1]Abdulrahman, Ismael & Radman, Ghadir. (2018). ILP-Based Optimal PMU Placement with the Inclusion of the Effect of a Group of Zero-Injection Buses. 29. 10.1007/s40313-018-0389-4资料获取，更多粉丝福利，MATLAB|Simulink|Python资源获取【请看主页然后私信】