968. 监控二叉树

简介: **简介:**题目《监控二叉树》要求计算在二叉树中安装最少数量的摄像头以覆盖所有节点。每个摄像头可覆盖其父节点、自身及直接子节点。通过贪心算法,从叶子节点向上推,优先在叶子节点的父节点放置摄像头,实现局部最优到全局最优。空节点被定义为“有覆盖”状态,避免浪费摄像头资源。递归遍历树时,根据左右子节点的状态决定当前节点是否放置摄像头,最终返回所需摄像头的最小数量。代码逻辑分为三种状态:无覆盖(0)、有摄像头(1)、有覆盖(2),并基于此设计状态转移公式,确保摄像头数量最少且覆盖完整。

题目:968. 监控二叉树

给定一个二叉树,我们在树的节点上安装摄像头。

节点上的每个摄影头都可以监视其父对象、自身及其直接子对象。

计算监控树的所有节点所需的最小摄像头数量。

示例 1:

输入:[0,0,null,0,0]

输出:1

解释:如图所示,一台摄像头足以监控所有节点。

示例 2:

输入:[0,0,null,0,null,0,null,null,0]

输出:2

解释:需要至少两个摄像头来监视树的所有节点。 上图显示了摄像头放置的有效位置之一。

提示:

给定树的节点数的范围是 [1, 1000]。

每个节点的值都是 0。

思考历程与知识点:  

这道题目首先要想,如何放置,才能让摄像头最小的呢?

从题目中示例,其实可以得到启发,我们发现题目示例中的摄像头都没有放在叶子节点上!

这是很重要的一个线索,摄像头可以覆盖上中下三层,如果把摄像头放在叶子节点上,就浪费的一层的覆盖。

所以把摄像头放在叶子节点的父节点位置,才能充分利用摄像头的覆盖面积。

那么有同学可能问了,为什么不从头结点开始看起呢,为啥要从叶子节点看呢?

因为头结点放不放摄像头也就省下一个摄像头, 叶子节点放不放摄像头省下了的摄像头数量是指数阶别的。

所以我们要从下往上看,局部最优:让叶子节点的父节点安摄像头,所用摄像头最少,整体最优:全部摄像头数量所用最少!

局部最优推出全局最优,找不出反例,那么就按照贪心来!

此时,大体思路就是从低到上,先给叶子节点父节点放个摄像头,然后隔两个节点放一个摄像头,直至到二叉树头结点。

此时这道题目还有两个难点:

我们分别有三个数字来表示:

大家应该找不出第四个节点的状态了。

一些同学可能会想有没有第四种状态:本节点无摄像头,其实无摄像头就是 无覆盖 或者 有覆盖的状态,所以一共还是三个状态。

因为在遍历树的过程中,就会遇到空节点,那么问题来了,空节点究竟是哪一种状态呢? 空节点表示无覆盖? 表示有摄像头?还是有覆盖呢?

回归本质,为了让摄像头数量最少,我们要尽量让叶子节点的父节点安装摄像头,这样才能摄像头的数量最少。

那么空节点不能是无覆盖的状态,这样叶子节点就要放摄像头了,空节点也不能是有摄像头的状态,这样叶子节点的父节点就没有必要放摄像头了,而是可以把摄像头放在叶子节点的爷爷节点上。

所以空节点的状态只能是有覆盖,这样就可以在叶子节点的父节点放摄像头了

接下来就是递推关系。

那么递归的终止条件应该是遇到了空节点,此时应该返回2(有覆盖),原因上面已经解释过了。

代码如下:

// 空节点,该节点有覆盖

if (cur == NULL) return 2;

递归的函数,以及终止条件已经确定了,再来看单层逻辑处理。

主要有如下四类情况:

左孩子有覆盖,右孩子有覆盖,那么此时中间节点应该就是无覆盖的状态了。

二叉树的遍历

如何隔两个节点放一个摄像头

如何隔两个节点放一个摄像头

此时需要状态转移的公式,大家不要和动态的状态转移公式混到一起,本题状态转移没有择优的过程,就是单纯的状态转移!

来看看这个状态应该如何转移,先来看看每个节点可能有几种状态:

有如下三种:

该节点无覆盖

本节点有摄像头

本节点有覆盖

0:该节点无覆盖

1:本节点有摄像头

2:本节点有覆盖

情况1:左右节点都有覆盖

代码如下:

// 左右节点都有覆盖

if (left == 2 && right == 2) return 0;

情况2:左右节点至少有一个无覆盖的情况

如果是以下情况,则中间节点(父节点)应该放摄像头:

这个不难理解,毕竟有一个孩子没有覆盖,父节点就应该放摄像头。

此时摄像头的数量要加一,并且return 1,代表中间节点放摄像头。

代码如下:

if (left == 0 || right == 0) {

   result++;

   return 1;

}

如果是以下情况,其实就是 左右孩子节点有一个有摄像头了,那么其父节点就应该是2(覆盖的状态)

代码如下:

if (left == 1 || right == 1) return 2;

从这个代码中,可以看出,如果left == 1, right == 0 怎么办?其实这种条件在情况2中已经判断过了

left == 0 && right == 0 左右节点无覆盖

left == 1 && right == 0 左节点有摄像头,右节点无覆盖

left == 0 && right == 1 左节点有无覆盖,右节点摄像头

left == 0 && right == 2 左节点无覆盖,右节点覆盖

left == 2 && right == 0 左节点覆盖,右节点无覆盖

情况3:左右节点至少有一个有摄像头

left == 1 && right == 2 左节点有摄像头,右节点有覆盖

left == 2 && right == 1 左节点有覆盖,右节点有摄像头

left == 1 && right == 1 左右节点都有摄像头

题解:

class Solution {
private:
    int result;
    int traversal(TreeNode* cur) {
 
        // 空节点,该节点有覆盖
        if (cur == NULL) return 2;
 
        int left = traversal(cur->left);    // 左
        int right = traversal(cur->right);  // 右
 
        // 情况1
        // 左右节点都有覆盖
        if (left == 2 && right == 2) return 0;
 
        // 情况2
        // left == 0 && right == 0 左右节点无覆盖
        // left == 1 && right == 0 左节点有摄像头,右节点无覆盖
        // left == 0 && right == 1 左节点有无覆盖,右节点摄像头
        // left == 0 && right == 2 左节点无覆盖,右节点覆盖
        // left == 2 && right == 0 左节点覆盖,右节点无覆盖
        if (left == 0 || right == 0) {
            result++;
            return 1;
        }
 
        // 情况3
        // left == 1 && right == 2 左节点有摄像头,右节点有覆盖
        // left == 2 && right == 1 左节点有覆盖,右节点有摄像头
        // left == 1 && right == 1 左右节点都有摄像头
        // 其他情况前段代码均已覆盖
        if (left == 1 || right == 1) return 2;
 
        // 以上代码我没有使用else,主要是为了把各个分支条件展现出来,这样代码有助于读者理解
        // 这个 return -1 逻辑不会走到这里。
        return -1;
    }
 
public:
    int minCameraCover(TreeNode* root) {
        result = 0;
        // 情况4
        if (traversal(root) == 0) { // root 无覆盖
            result++;
        }
        return result;
    }
};


                         

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