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原文再续，书接上回。
5.1 网之初，感知机
我们知道，《三字经》里开篇第一句就是：“人之初，性本善”。那么对于神经网络来说，这句话就要改为：“网之初，感知机”。感知机（ Perceptrons ），基本上来说，是一切神经网络学习的起点。
很多有关神经网络学习（包括深度学习）的教程，在提及感知机时，都知道绕不过，但也仅仅一带而过。学过编程的同学都知道，不论是哪门什么语言，那个神一般存在的第一个程序——“Hello World”，对初学者有多么重要，可以说，它就是很多人“光荣与梦想”开始的地方。
而感知机学习，就是神经网络学习的“Hello World”，所以对于初学者来说，也值得我们细细玩味。因此，下面我们就给予详细讲解。
5.2 感性认识“感知机”
在第3小节中，我们已经提到，所谓的感知机，其实就是一个由两层神经元构成的网络结构，它在输入层接收外界的输入，通过激活函数（含阈值）的变换，把信号传送至输出层，因此它也称之为“阈值逻辑单元（threshold logic unit）”。
麻雀虽小，五脏俱全。感知机虽然简单，但已初具神经网络的必备要素。在前面我们也提到，所有“有监督”的学习，在某种程度上，都是分类（classification）学习算法。而感知机就是有监督的学习，所以，它也是一种分类算法。下面我们就列举一个区分“西瓜和香蕉”的经典案例，来看看感知机是如何工作的[1]。
为了简单起见，我们就假设西瓜和香蕉都仅有两个特征（feature）：形状和颜色，其它特征暂不考虑。这两个特征都是基于视觉刺激而得到的。
图5-1 感知机学习算法
假设特征x1代表输入颜色，特征x2代表形状，权重w1和w2默认值都为1，为了进一步简化，我们把阈值θ（亦有教程称之为偏值——bias）设置为0。为了标识方便，我们将感知器输出为“1”，代表判定为“西瓜”，而输出为“0”，代表判定为“香蕉”。当然了，如果有更多类别的物品，我们就用更多的数字来标记即可。
为了方便机器计算，我们对颜色和形状这两个特征，给予不同的值，以示区别。比如，颜色这个特征为绿色时，x1取值为1，而当颜色为黄色时，x1取值为-1；类似地，如果形状这个特征为圆形，x2取值为1，反之，形状为弯曲状时，x2取值为-1，如表5-1所示。
这样一来，可以很容易依据图5-1所示的公式，对于西瓜、香蕉做鉴定（即输出函数f的值），其结果分别如图5-2（a）所示：
图5-2 感知器的输出
从图5-2（a）所示的输出可以看到，对西瓜的判定输出结果是2，而香蕉的为-2。而我们先前预定的规则是：函数输出为1，则判定为西瓜，输出为0，则判定为香蕉，那么如何将2或-2这样的分类结果，变换成预期的分类表达呢，这个时候，就需要激活函数上场了！
这里，我们使用了最为简单的阶跃函数（step function）。在阶跃函数中，输出规则非常简单：当x>0时，f(x)输出为1，否则输出0。通过激活函数的“润滑”之后，结果就变成我们想要的样子（如图5-2-b所示）。就这样，我们就搞定了西瓜和香蕉的判定。
这里需要说明的是，对象的不同特征（比如水果的颜色或形状等），只要用不同数值区分表示开来即可，具体用什么样的值，其实并无大碍。
但你或许会疑惑，这里的阈值（threshold）θ和两个连接权值w1和w2，为啥就这么巧分别就是0、1、1呢？如果取其它数值，会有不同的判定结果吗？
这是个好问题。事实上，我们并不能一开始就知道这几个参数的取值，而是一点点地非常苦逼地“折腾试错”（Try-Error）出来的，而这里的“折腾试错”其实就是感知机的学习过程！
下面，我们就聊聊最简单的神经网络——感知机它是如何学习的？
5.3 感知机是如何学习的？
中国有句古话：“知错能改，善莫大焉。”说得就是“犯了错误而能改正，没有比这更好的事了”。
放到机器学习领域，这句话显然属于“监督学习”的范畴。因为“知错”，就表明它事先已有了事物的评判标准，如果你的行为不符合（或说偏离）这些标准，那么就要根据“偏离的程度”，来“改善”自己的行为。
下面，我们就根据这个思想，来制定感知机的学习规则。从前面讨论中我们已经知道，感知机学习属于“有监督学习”（即分类算法）。感知机是有明确的目的导向的，这有点类似于“不管白猫黑猫，抓住老鼠就是好猫”，不管是什么样的学习规则，能达到良好的分类目的，就是好学习规则。
我们知道，对象本身的特征值，一旦确定下来就不会变化。因此，所谓神经网络的学习规则，就是调整权值和阈值的规则（这个结论对于深度学习而言，依然是适用的）。
假设我们的规则是这样的：
其中ep = y- y’，y为期望输出，y’是实际输出，所以，具体说来，ep是二者的差值。在后面，读者朋友可以看到，这个“落差”就是整个网络中权值和阈值的调整动力。因为，很显然，如果ep为0，那么新、旧权值和阈值都是一样的，网络就稳定可用了！
下面，我们就用上面的学习规则来模拟感知机的学习过程。假设w1和w2初始值分别为1和-1（注意：已经不再是1和1了！），阈值θ依然为0（事实上为其它初值，也是可行的），那么我们遵循如下步骤，即可完成判定西瓜的学习：
（1）计算判定西瓜的输出值f：
将这个输出值带入如图5-2-b所示的阶跃函数中，可得y=0。
（2）显然，针对西瓜，我们期望输出的正确判定是：y=1，而现在实际输出的值y’=0，也就是说，实际输出有误。这个时候，就需要纠偏。而纠偏，就需要利用公式（5.1）所示的学习规则。于是，我们需要计算出来误差ep来。
（3）计算误差ep：
现在，我们把ep的值带入公式（5.1）所示的规则中，更新网络的权值和阈值，即：
（3）那么，在新一轮的网络参数（即权值、阈值）重新学习获得后，我们再次输入西瓜的属性值，来测试一下，看看它能否正确判定：
再经过激活函数（阶跃函数）处理后，输出结果y=1，很高兴，判定正确！
（4）我们知道，一个对象的类别判定正确，不算好，“大家好，才算真的好！”于是，在判定西瓜正确后，我们还要尝试在这样的网络参数下，看看香蕉的判定是否也是正确的：
类似地，经过激活函数（阶跃函数）处理后，输出结果y=0，判定也正确的！BINGO！误差ep为0，打完收工，学习结束！
在这个案例里，仅仅经过一轮的“试错法（trial-by-error）”，我们就搞定了参数的训练，但你可别高兴太早，谁叫这是一个“Hello World”版本的神经网络呢！事实上，在有监督的学习规则中，我们需要根据输出与期望值的“落差”，经过多轮重试，反复调整神经网络的权值，直至这个“落差”收敛到能够忍受的范围之内，训练才告结束。
在上面，我们仅仅给出了感知机学习的一个感性例子，下面我们要给出感知机学习的形式化的描述。
5.4 感知机的训练法则
通过前面的分析，我们可以看到，感知机是很容易实现逻辑上的“与（AND）”、“或（OR）”、“非（NOT）”等原子布尔函数（Primitive Boolean function），如图5-3所示（睿智如你，你肯定发现了，这里的确没有“异或”，这个坑回头我们在后面再填上）[2]。
图5-3 感知机实现逻辑运算
下面举例说明。首先，我们注意到，假设f是如图5-3所示的阶跃函数，通过合适的权值和阈值，即可完成常见的逻辑运算（既然是逻辑运算，x1和x2都只能取值为0或1），例如：
（1）“与(x1∧x2)”：当权值w1=w2=1，阈值θ=2时，有：
此时，仅当x1=x2=1时，y=1，而在其它情况下（如x1和x2无论哪一个取0），y=0。这样，我们在感知机中，就完成了逻辑“与”的运算。
（2）类似地，“或(x1∨x2)”：当w1=w2=1，阈值θ=0.5时，有：
此时，当x1或x2中有一个为“1”时，那么y=1，而在其它情况下（即x1和x2均都取“0”），y=0。这样，我们就完成了逻辑“或”的运算。
（3）在类似地，“非(┐x1)”：当w1=0.6，w2=,0，阈值θ=0.5时，有：
此时，当x1为“1”时，y=0，当x1为“0”时，y=1。这样，就完成了逻辑“非”的运算（当然，如果以x2做“非”运算，也是类似操作，这里不再赘述）。
更一般地，当我们给定训练数据，神经网络中的参数（权值wi和阈值θ）都可以通过不断地“纠偏”学习得到。为了方便起见，我们把阈值θ视为w0，而其权值设为固定值“-1”，那么阈值θ就可视为一个“哑节点（dummy node）”。这样一来，权重和阈值的学习可以“一统天下”称为“权重”的学习。
如此一来，感知机的学习规则就可以更加简单明了，对于训练样例（x，y）（需要注意的是，这里粗体字x表示训练集合），若当前感知机的实际输出y’，假设它不符合预期，存在“落差”，那么感知机的权值依据如公式（5.2）规则调整：
其中，η∈(0,1)称为学习率(learning rate)，公式（5.2）其实是公式（5.1）的一般化描述。由公式（5.2）可知，如果（x，y）预测正确，那么可知y=y’，感知机的权值就不会发生任何变化，否则就会根据“落差”的程度做对应调整。
这里需要注意的是，学习率η的作用是“缓和”每一步权值调整强度的。它本身的大小，也是比较难以确定的。如果η太小，网络调参的次数就太多，从而收敛很慢。如果η太大，“步子大了，容易扯着蛋”，从而错过了网络的参数的最优解。因此，合适的η大小，在某种程度上，还依赖于人工经验（如图5-4所示）。
图5-4 学习率：“步子大了，容易扯着蛋”
5.5 感知机的表征能力
如果识别对象x有n个特征，那么感知机可以看做，在n维实例空间（即点空间）中的超平面决策面，以向量的模式写出来就是如图5-5所示。
图5-5 感知机的超平面
这样一来的话，对于超平面一侧的实例，感知机输出为1（或称判定为某一类），而对于超平面的另外一侧实例，感知机输出为0（判定为另外一类）。
由于感知机只有输出层神经元可以进行激活函数的处理，也就是说它只拥有单层的功能元神经元（functional neuron），因此它的学习能力是相对有限的。比如说在5.4小节中，原子布尔函数中的“与、或、非”等问题都是线性可分的（linearly separable）的问题。
前面的章节中，我们提到的那位人工智能泰斗明斯基（Minsky）已经证明，若两类模式是线性可分的，那么一定存在一个线性超平面可以将它们区分开来，如图5-6(a)-(c)所示。也就是说，这样的感知机，其学习过程一定会稳定（即收敛）下来，神经网络的权值可以学习得到。
但是对于线性不可分原子布尔函数（如“异或”操作），就不存在简单地线性超平面将其区分开来（如图5-6-(d)）。在这种情况下，感知机的学习过程就会发生“震荡（fluctuation）”，权值向量就难以求得合适解。这里稍微为非专业读者解释一下什么异或？所谓异或（XOR），就是当且仅当输入值x1和x2不相等，则输出为1。反之，输出为0。你可以简单粗暴地把“异或”理解为：男欢女爱输出为1，搞基都是没有结果的（输出为0）！
图5-6 线性可分的“与、或、非”和线性不可分的“异或”
一个寄以厚望的感知机，居然连简单的“异或”功能都实现不了，这点让明斯基颇为失望。于是，在1969年，他和同事Papert合作写下《感知机》一书[3]，直接把“感知机”判了个n年有期徒刑（n在当时为不可知变量）。
这么一说，好像明斯基是一位法官一样。但其实呢，他更像《白雪公主》里的那位继母王后。这是因为就是他，给那个叫“人工智能”的“白雪公主”喂了一颗“毒苹果”（《感知机》一书），让这位“白雪公主”一睡就是20年（n=20）。
我们知道，绝大多数童话都有个“happy ending（完美结局）”，《白雪公主》也不例外。现在我们好奇的是，在人工智能领域，谁又是那位“吻醒”白雪公主的“王子”呢？
欲知后事如何，且听我们下回分解。
5.6小结
在本小节，我们首先用西瓜和香蕉的判定案例，感性地谈了谈感知机的工作流程。然后，我们又给出了感知机的形式化学习规则以及感知机的表征能力。容易发现，感知机连常见的逻辑操作“异或”都难以实现，这一功能缺陷，直接让人工智能领域大神明斯基抓住了“小辫子”，然后就把“人工智能”送进了长达二十年的“冬天”。
但英国浪漫主义诗人雪莱说了：“冬天来了，春天还会远吗？”
5.7 请你思考
学习完本小节，请你思考如下问题：
（1）你能参照感知机判定“西瓜”和“香蕉”的案例，训练感知机完整布尔函数“与、或、非”等权值的学习吗？请用编程语言实现。（提示：它山之石，可以攻玉。可以借助开源的神经网络框架实现，如由Java语言编写的Neuroph，下载链接：http://neuroph.sourceforge.net/）
（2）你知道最终感知机是如何解决“异或”问题的吗？（提前剧透：增加神经网络的层数，提升网络数据特征的表达能力，网络层次多了，这就是深度神经网络啊！）
写下你的感悟，祝你每天都有收获！
【参考文献】
[1] 吴岸城. 神经网络与深度学习.电子工业出版社.2016.6
[2] 周志华.机器学习.清华大学出版社.2016.2
[3] Minsky M, Papert S. Perceptrons[J]. 1969.
文章作者：张玉宏（著有《品味大数据》一书），《深度学习之美》（最通俗易懂的深度学习入门）2018年7月出版
审校：我是主题曲哥哥。
（未完待续）
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