地心地固坐标系(ECEF)与站心坐标系(ENU)的转换

1. 概述

我在《大地经纬度坐标与地心地固坐标的的转换》这篇文章中已经论述了地心坐标系的概念。我们知道，基于地心坐标系的坐标都是很大的值，这样的值是不太方便进行空间计算的，所以很多时候可以选取一个站心点，将这个很大的值变换成一个较小的值。以图形学的观点来看，地心坐标可以看作是世界坐标，站心坐标可以看作局部坐标。

站心坐标系以一个站心点为坐标原点，当把坐标系定义为X轴指东、Y轴指北，Z轴指天，就是ENU（东北天）站心坐标系。这样，从地心地固坐标系转换成的站心坐标系，就会成为一个符合常人对地理位置认知的局部坐标系。同时，只要站心点位置选的合理（通常可选取地理表达区域的中心点），表达的地理坐标都会是很小的值，非常便于空间计算。

注意站心天向(法向量)与赤道面相交不一定会经过球心

2. 原理

令选取的站心点为P，其大地经纬度坐标为（Bp，Lp，Hp）（Bp，Lp，Hp），对应的地心地固坐标系为（Xp，Yp，Zp）（Xp，Yp，Zp）。地心地固坐标系简称为ECEF，站心坐标系简称为ENU。

2.1. 平移

通过第一节的图可以看出，ENU要转换到ECEF，一个很明显的图形操作是平移变换，将站心移动到地心。根据站心点P在地心坐标系下的坐标（Xp，Yp，Zp）（Xp，Yp，Zp），可以很容易推出ENU转到ECEF的平移矩阵：

T=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣100Xp010Yp001Zp0001⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦T=[100Xp010Yp001Zp0001]

反推之，ECEF转换到ENU的平移矩阵就是T的逆矩阵：

T−1=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣100−Xp010−Yp001−Zp0001⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦T−1=[100−Xp010−Yp001−Zp0001]

2.2. 旋转

另外一个需要进行的图形变换是旋转变换，其旋转变换矩阵根据P点所在的经度L和纬度B确定。这个旋转变换有点难以理解，需要一定的空间想象能力，但是可以直接给出如下结论:

当从ENU转换到ECEF时，需要先旋转再平移，旋转是先绕X轴旋转(pi2−B)(pi2−B)，再绕Z轴旋转(pi2+L)(pi2+L)
当从ECEF转换到ENU时，需要先平移再旋转，旋转是先绕Z轴旋转−(pi2+L)−(pi2+L)，再绕X轴旋转−(pi2−B)−(pi2−B)

根据我在《WebGL简易教程(五)：图形变换(模型、视图、投影变换)》提到的旋转变换，绕X轴旋转矩阵为：

Rx=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣10000cosθ−sinθ00sinθcosθ00001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦Rx=[10000cosθ−sinθ00sinθcosθ00001]

绕Z轴旋转矩阵为：

Rz=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣cosθ−sinθ00sinθcosθ0000100001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦Rz=[cosθ−sinθ00sinθcosθ0000100001]

从ENU转换到ECEF的旋转矩阵为：

R=Rz(pi2+L)⋅Rx(pi2−B)(1)(1)R=Rz(pi2+L)⋅Rx(pi2−B)

根据三角函数公式：

sin(π/2+α)=cosαsin(π/2−α)=cosαcos(π/2+α)=−sinαcos(π/2−α)=sinαsin(π/2+α)=cosαsin(π/2−α)=cosαcos(π/2+α)=−sinαcos(π/2−α)=sinα

有：

Rz(pi2+L)=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−sinL−cosL00cosL−sinL0000100001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦(2)(2)Rz(pi2+L)=[−sinL−cosL00cosL−sinL0000100001]

Rx(pi2−B)=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣10000sinB−cosB00cosBsinB00001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦(3)(3)Rx(pi2−B)=[10000sinB−cosB00cosBsinB00001]

将(2)、(3)带入(1)中，则有：

R=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−sinL−sinBcosLcosBcosL0cosL−sinBsinLcosBsinL00cosBsinB00001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦(4)(4)R=[−sinL−sinBcosLcosBcosL0cosL−sinBsinLcosBsinL00cosBsinB00001]

而从ECEF转换到ENU的旋转矩阵为：

R−1=Rx(−(pi2−B))⋅Rz(−(pi2+L))(5)(5)R−1=Rx(−(pi2−B))⋅Rz(−(pi2+L))

旋转矩阵是正交矩阵，根据正交矩阵的性质:正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，那么可直接得：

R−1=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−sinLcosL00−sinBcosL−sinBsinLcosB0cosBcosLcosBsinLsinB00001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦(6)(6)R−1=[−sinLcosL00−sinBcosL−sinBsinLcosB0cosBcosLcosBsinLsinB00001]

2.3. 总结

将上述公式展开，可得从ENU转换到ECEF的图形变换矩阵为：

M=T⋅R=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣100Xp010Yp001Zp0001⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−sinL−sinBcosLcosBcosL0cosL−sinBsinLcosBsinL00cosBsinB00001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦M=T⋅R=[100Xp010Yp001Zp0001][−sinL−sinBcosLcosBcosL0cosL−sinBsinLcosBsinL00cosBsinB00001]

而从ECEF转换到ENU的图形变换矩阵为：

M−1=R−1∗T−1=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣−sinLcosL00−sinBcosL−sinBsinLcosB0cosBcosLcosBsinLsinB00001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣100−Xp010−Yp001−Zp0001⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦M−1=R−1∗T−1=[−sinLcosL00−sinBcosL−sinBsinLcosB0cosBcosLcosBsinLsinB00001][100−Xp010−Yp001−Zp0001]

3. 实现

接下来用代码实现这个坐标转换，选取一个站心点，以这个站心点为原点，获取某个点在这个站心坐标系下的坐标：

#include <iostream>
#include <eigen3/Eigen/Eigen>
#include <osgEarth/GeoData>
using namespace std;
const double epsilon = 0.000000000000001;
const double pi = 3.14159265358979323846;
const double d2r = pi / 180;
const double r2d = 180 / pi;
const double a = 6378137.0;   //椭球长半轴
const double f_inverse = 298.257223563;     //扁率倒数
const double b = a - a / f_inverse;
//const double b = 6356752.314245;      //椭球短半轴
const double e = sqrt(a * a - b * b) / a;
void Blh2Xyz(double &x, double &y, double &z)
{
  double L = x * d2r;
  double B = y * d2r;
  double H = z;
  double N = a / sqrt(1 - e * e * sin(B) * sin(B));
  x = (N + H) * cos(B) * cos(L);
  y = (N + H) * cos(B) * sin(L);
  z = (N * (1 - e * e) + H) * sin(B);
}
void Xyz2Blh(double &x, double &y, double &z)
{
  double tmpX =  x;
  double temY = y ;
  double temZ = z;
  double curB = 0;
  double N = 0; 
  double calB = atan2(temZ, sqrt(tmpX * tmpX + temY * temY)); 
  
  int counter = 0;
  while (abs(curB - calB) * r2d > epsilon  && counter < 25)
  {
    curB = calB;
    N = a / sqrt(1 - e * e * sin(curB) * sin(curB));
    calB = atan2(temZ + N * e * e * sin(curB), sqrt(tmpX * tmpX + temY * temY));
    counter++;  
  }      
  
  x = atan2(temY, tmpX) * r2d;
  y = curB * r2d;
  z = temZ / sin(curB) - N * (1 - e * e); 
}
void TestBLH2XYZ()
{
  //double x = 113.6;
//double y = 38.8;
//double z = 100;    
//   
//printf("原大地经纬度坐标：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
//Blh2Xyz(x, y, z);
//printf("地心地固直角坐标：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
//Xyz2Blh(x, y, z);
//printf("转回大地经纬度坐标：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
  double x = -2318400.6045575836;
  double y = 4562004.801366804;
  double z = 3794303.054150639;
  //116.9395751953      36.7399177551
  printf("地心地固直角坐标：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
  Xyz2Blh(x, y, z);
  printf("转回大地经纬度坐标：%.10lf\t%.10lf\t%.10lf\n", x, y, z);
}
void CalEcef2Enu(Eigen::Vector3d& topocentricOrigin, Eigen::Matrix4d& resultMat)
{
  double rzAngle = -(topocentricOrigin.x() * d2r + pi / 2);
  Eigen::AngleAxisd rzAngleAxis(rzAngle, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));
  Eigen::Matrix3d rZ = rzAngleAxis.matrix();
  double rxAngle = -(pi / 2 - topocentricOrigin.y() * d2r);
  Eigen::AngleAxisd rxAngleAxis(rxAngle, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));
  Eigen::Matrix3d rX = rxAngleAxis.matrix();
  Eigen::Matrix4d rotation;
  rotation.setIdentity();
  rotation.block<3, 3>(0, 0) = (rX * rZ);
  //cout << rotation << endl;
        
  double tx = topocentricOrigin.x();
  double ty = topocentricOrigin.y();
  double tz = topocentricOrigin.z();
  Blh2Xyz(tx, ty, tz);
  Eigen::Matrix4d translation;
  translation.setIdentity();
  translation(0, 3) = -tx;
  translation(1, 3) = -ty;
  translation(2, 3) = -tz;
  
  resultMat = rotation * translation;
}
void CalEnu2Ecef(Eigen::Vector3d& topocentricOrigin, Eigen::Matrix4d& resultMat)
{
  double rzAngle = (topocentricOrigin.x() * d2r + pi / 2);
  Eigen::AngleAxisd rzAngleAxis(rzAngle, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));
  Eigen::Matrix3d rZ = rzAngleAxis.matrix();
  double rxAngle = (pi / 2 - topocentricOrigin.y() * d2r);
  Eigen::AngleAxisd rxAngleAxis(rxAngle, Eigen::Vector3d(1, 0, 0));
  Eigen::Matrix3d rX = rxAngleAxis.matrix();
  Eigen::Matrix4d rotation;
  rotation.setIdentity();
  rotation.block<3, 3>(0, 0) = (rZ * rX);
  //cout << rotation << endl;
  double tx = topocentricOrigin.x();
  double ty = topocentricOrigin.y();
  double tz = topocentricOrigin.z();
  Blh2Xyz(tx, ty, tz);
  Eigen::Matrix4d translation;
  translation.setIdentity();
  translation(0, 3) = tx;
  translation(1, 3) = ty;
  translation(2, 3) = tz;
  resultMat = translation * rotation;
}
void TestXYZ2ENU()
{
  double L = 116.9395751953;
  double B = 36.7399177551;
  double H = 0;
      
  cout << fixed << endl;
  Eigen::Vector3d topocentricOrigin(L, B, H);
  Eigen::Matrix4d wolrd2localMatrix;
  CalEcef2Enu(topocentricOrigin, wolrd2localMatrix);  
  cout << "地心转站心矩阵：" << endl;
  cout << wolrd2localMatrix << endl<<endl;
  cout << "站心转地心矩阵：" << endl;
  Eigen::Matrix4d local2WolrdMatrix;
  CalEnu2Ecef(topocentricOrigin, local2WolrdMatrix);
  cout << local2WolrdMatrix << endl;
  double x = 117;
  double y = 37;
  double z = 10.3;
  Blh2Xyz(x, y, z);
  cout << "ECEF坐标（世界坐标）：";
  Eigen::Vector4d xyz(x, y, z, 1);
  cout << xyz << endl;
  cout << "ENU坐标（局部坐标）：";
  Eigen::Vector4d enu = wolrd2localMatrix * xyz;
  cout << enu << endl;  
}
void TestOE()
{
  double L = 116.9395751953;
  double B = 36.7399177551;
  double H = 0;
  osgEarth::SpatialReference *spatialReference = osgEarth::SpatialReference::create("epsg:4326");
  osgEarth::GeoPoint centerPoint(spatialReference, L, B, H);
  osg::Matrixd worldToLocal;
  centerPoint.createWorldToLocal(worldToLocal);
  cout << fixed << endl;
  cout << "地心转站心矩阵：" << endl;
  for (int i = 0; i < 4; i++)
  {
    for (int j = 0; j < 4; j++)
    {
      printf("%lf\t", worldToLocal.ptr()[j * 4 + i]);
    }
    cout << endl;
  }
  cout << endl;
  osg::Matrixd localToWorld;
  centerPoint.createLocalToWorld(localToWorld);
  cout << "站心转地心矩阵：" << endl;
  for (int i = 0; i < 4; i++)
  {
    for (int j = 0; j < 4; j++)
    {
      printf("%lf\t", localToWorld.ptr()[j * 4 + i]);
    }
    cout << endl;
  }
  cout << endl;
  double x = 117;
  double y = 37;
  double z = 10.3;
  osgEarth::GeoPoint geoPoint(spatialReference, x, y, z);
  cout << "ECEF坐标（世界坐标）：";
  osg::Vec3d out_world;
  geoPoint.toWorld(out_world);
  cout << out_world.x() <<'\t'<< out_world.y() << '\t' << out_world.z() << endl;
     
  cout << "ENU坐标（局部坐标）：";
  osg::Vec3d localCoord = worldToLocal.preMult(out_world);
  cout << localCoord.x() << '\t' << localCoord.y() << '\t' << localCoord.z() << endl;
}
int main()
{
  //TestBLH2XYZ();
  cout << "使用Eigen进行转换实现：" << endl;
  TestXYZ2ENU();
  cout <<"---------------------------------------"<< endl;
  cout << "通过OsgEarth进行验证：" << endl;
  TestOE();
}