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【数据结构】二叉树顺序实现（大堆）--＞赋源码

2024-08-08 38
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简介： 【数据结构】二叉树顺序实现（大堆）--＞赋源码

前言

在前面的顺序表、链表、都是线性表。今天的所介绍的二叉树是一种非线性数据结构。

树的概念以及介绍

定义

树是一种非线性的数据结构，它由n（n>0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

image.png

树的相关概念（类比人类血缘关系）

  • 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度。
  • 叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点。
  • 非终端结点或分支结点：度不为0的结点。
  • 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点。
  • 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点。
  • 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点。
  • 树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度。
  • 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。
  • 树的高度或深度：树中结点的最大层次。
  • 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
  • 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。
  • 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
  • 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

二叉树的概念

二叉树是树的一种特殊形式，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

满二叉树

满二叉树的定义

1.满二叉树是一种特殊的二叉树，它的特点是每一层的节点数都达到最大值，即每一层的节点数都恰好为2的幂次（除了最后一层以外）。

2.如果满二叉树的深度为k，那么它的节点总数为2^k - 1。在满二叉树中，除了最后一层的节点之外，其余每一层的节点都是完全填满的，而且最后一层的节点也是从左到右连续排列的

满二叉树性质
  1. 满二叉树的深度为k，节点总数为2^k - 1。
  2. 满二叉树的每一层的节点数都达到最大值，即每一层的节点数为2^(i-1)，其中i是层数。
  3. 满二叉树的叶子节点全部位于最后一层。
  4. 满二叉树的节点要么是叶子节点（度为0），要么是度为2的节点，不存在度为1的节点

如下图：

image.png

完全二叉树

完全二叉树的定义
  1. 除了最后一层外，其他每一层的节点数都达到最大数量，即该层的节点数等于2的幂减去1。
  2. 最后一层的节点都集中在最左边，并且右边的节点可以少，但不能有空位。
完全二叉树的性质

1.完全二叉树的节点编号从1开始，对于编号为i的节点，其左子节点的编号为2i，右子节点的编号为2i+1。

2.如果一棵完全二叉树有n个节点，那么它的深度大约为log2(n)+1。

3.完全二叉树的特点是叶子节点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子节点集中在树的左部。

image.png

二叉树的顺序实现

堆

堆的定义

堆是一种特殊的完全二叉树，它可以被视为一种特殊的顺序表。

堆的分类

堆的特点是父节点的值总是大于或小于其子节点的值，根据这个特点，堆可以分为大根堆和小根堆。在大根堆中，根节点的值是最大的，而在小根堆中，根节点的值是最小的。

二叉树的实现（本质：顺序表，形式：大根堆）

二叉树的功能

//初始化
void HeapInit(Heap* hp);
//扩容
void CheckCapacity(Heap* hp);
//插入数据
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
//删除数据
void HeapPop(Heap* hp);
//顶数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
//大小
int HeapSize(Heap* hp);
//堆是否为空
bool HeapEmpty(Heap* hp);
//销毁
void HeapDestory(Heap* hp);

二叉树的定义以及初始化

定义
typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
  HPDataType* a;
  int size;
  int capacity;
}Heap;
初始化

本质就是顺序表，没有太大的变化，开辟初始空间。

//初始化
void HeapInit(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*4);
  if (hp->a == NULL)
  {
    perror("malloc fail");
    return NULL;
  }
  hp->capacity = 4;
  hp->size = 0;
}

二叉树空间扩容

//扩容
void CheckCapacity(Heap* hp)
{
  assert(hp);

  if (hp->size == hp->capacity)
  {
    HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a,sizeof(HPDataType) * hp->capacity * 2);
    if(tmp == NULL)
    {
      perror("malloc fail");
      return NULL;
    }
    hp->a = tmp;
    hp->capacity *= 2;
  }

}

二叉树的插入数据

数据从尾部插入，但是要保证大堆结构，我们调用函数 AdjustUp（向上调整）。

插入
//插入数据
void HeapPush(Heap* hp,HPDataType x)
{
  assert(hp);
  CheckCapacity(hp);

  hp->a[hp->size++] = x;

  AdjustUp(hp,hp->size-1);
}
AdjustUp（向上调整）

在这里，由于孩子结点和父亲结点的关系是：父亲 = （孩子-1）/ 2. （顺序表本质就是数组，首元素下标就是0）

如图：结点为4 父亲节点为 （4-1）/ 2 = 1。

0

1

2

3

4

5

6

DLeft...

DRight...

ELeft...

ERight...

FLeft...

FRihgt...

HLeft...

HRight...

如果发现，孩子节点大于父亲节点，进行交换。

//向上调整
void AdjustUp(Heap* hp, int child)
{
  assert(hp);
  int parent = (child - 1) / 2;
  while (child >= 0)
  {
    if (hp->a[child] > hp->a[parent])
    {
      Swap(&(hp->a[child]), &(hp->a[parent]));
      child = parent;
      parent = (child - 1) / 2;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
Swap(交换)
//交换
void Swap(HPDataType* child, HPDataType* parent)
{
  HPDataType tmp = *child;
  *child = *parent;
  *parent = tmp;
}

二叉树数据的删除

在这展示的是首节点的删除，尾节点删除的意义不大

删除

删除操作是首节点，和尾节点进行互换，删除尾节点。

  • 保证了删除效率
  • 保证了堆的原始关系

由于尾结点互换到了头结点，需要进行AdjustDown（向下调整）

//删除数据
void HeapPop(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  
  hp->a[0] = hp->a[hp->size - 1];
  hp->size--;

  AdjustDown(hp,hp->size);
}
AdjustDown（向下调整）

在这里，由于孩子结点和父亲结点的关系是：孩子 = 父亲*2 + 1.

如图：1. 孩子结点 5 = 2 * 2 +1

2. 孩子结点 6 = 2 * 2 + 1 +1

0

1

2

3

4

5

6

DLeft...

DRight...

ELeft...

ERight...

FLeft...

FRihgt...

HLeft...

HRight...

//向下调整
void AdjustDown(Heap* hp,int size)
{
  assert(hp);
  int parent = 0;
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child < size)
  {
    if (hp->a[parent] < hp->a[child])
    {
      Swap(&hp->a[parent], &hp->a[child]);
      parent = child;
      child = parent * 2 + 1;

    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}

二叉树顶数据

//顶数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  return hp->a[0];
}

二叉树大小

//大小
int HeapSize(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  
  return hp->size;

}

二叉树是否为空

//堆是否为空
bool HeapEmpty(Heap* hp)
{
  assert(hp);

  return hp->size == 0;
}

二叉树销毁

//销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
  free(hp->a);
  hp->a == NULL;

}

源码

Heap.h

#pragma once

#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>


typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
  HPDataType* a;
  int size;
  int capacity;
}Heap;


//初始化
void HeapInit(Heap* hp);
//扩容
void CheckCapacity(Heap* hp);
//插入数据
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
//删除数据
void HeapPop(Heap* hp);
//顶数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
//大小
int HeapSize(Heap* hp);
//堆是否为空
bool HeapEmpty(Heap* hp);
//销毁
void HeapDestory(Heap* hp);

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS  1

#include "heap.h"


//初始化
void HeapInit(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  hp->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*4);
  if (hp->a == NULL)
  {
    perror("malloc fail");
    return NULL;
  }
  hp->capacity = 4;
  hp->size = 0;
}

//扩容
void CheckCapacity(Heap* hp)
{
  assert(hp);

  if (hp->size == hp->capacity)
  {
    HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a,sizeof(HPDataType) * hp->capacity * 2);
    if(tmp == NULL)
    {
      perror("malloc fail");
      return NULL;
    }
    hp->a = tmp;
    hp->capacity *= 2;
  }

}

//交换
void Swap(HPDataType* child, HPDataType* parent)
{
  HPDataType tmp = *child;
  *child = *parent;
  *parent = tmp;
}

//向上调整
void AdjustUp(Heap* hp, int child)
{
  assert(hp);
  int parent = (child - 1) / 2;
  while (child >= 0)
  {
    if (hp->a[child] > hp->a[parent])
    {
      Swap(&(hp->a[child]), &(hp->a[parent]));
      child = parent;
      parent = (child - 1) / 2;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }

}

//插入数据
void HeapPush(Heap* hp,HPDataType x)
{
  assert(hp);
  CheckCapacity(hp);

  hp->a[hp->size++] = x;

  AdjustUp(hp,hp->size-1);
}

//向下调整
void AdjustDown(Heap* hp,int size)
{
  assert(hp);
  int parent = 0;
  int child = parent * 2 + 1;
  while (child < size)
  {
    if (hp->a[parent] < hp->a[child])
    {
      Swap(&hp->a[parent], &hp->a[child]);
      parent = child;
      child = parent * 2 + 1;

    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}

//删除数据
void HeapPop(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  
  hp->a[0] = hp->a[hp->size - 1];
  hp->size--;

  AdjustDown(hp,hp->size);
}
//顶数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  return hp->a[0];
}
//大小
int HeapSize(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  
  return hp->size;

}
//堆是否为空
bool HeapEmpty(Heap* hp)
{
  assert(hp);

  return hp->size == 0;
}

//销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
  free(hp->a);
  hp->a == NULL;

}

test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS  1

#include "heap.h"



void Heaptest()
{
  Heap HP;
  HeapInit(&HP);
  HeapPush(&HP, 3);
  HeapPush(&HP, 5);
  HeapPush(&HP, 40);
  HeapPush(&HP, 70);
  HeapPush(&HP, 18);
  HeapPush(&HP, 25);

  while (!HeapEmpty(&HP))
  {
    printf("%d ", HeapTop(&HP));
    HeapPop(&HP);
  }

  HeapDestory(&HP);

}




int main()
{
  Heaptest();

  return 0;
}





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数据结构二叉树
数据结构堆
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