技术好文共享:辅助角公式的几何意义

简介: 技术好文共享:辅助角公式的几何意义

好久没更文了,就随便写点东西吧,虽然有点水。


所谓「辅助角公式」就是中学数学里面一个平淡无奇的公式:


Acost+Bsint=√A2+B2cos(t?arctanBA)(A0)



Asint+Bcost=√A2+B2sin(t+arctanBA)(A0)


对于这个公式,我们的解释一般是「提出 √A2+B2A2+B2 \sqrt{A^2+B^2} , 凑出两角和公式」。


然而这对与几何迷来说并不能满意对吧?


现在我们就来谈谈几何意义。


如果用复数来解释倒是很容易,不过那就开挂了。


所以我打算在实数范围内就把问题说清楚。


刚才的公式里面,我为什么不把变量写成 xxx, 而是写成 ttt 呢?


这是因为,从运动的角度来看,可以更好地理解三角函数。


比如说,还有一套三角函数的基本公式叫做诱导公式。


其中有这么一条:  


sin(x+π2)=cosxsin?(x+π2)=cos?x?\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos{x}


刚学这个公式的时候我就想,正弦一平移就变成了余弦。


这就说明正弦和余弦的函数图像都是一样的。


也就是说,正弦和余弦本质上并没有什么区别。


当时觉得这相当匪夷所思。


后来就明白了。


如果从运动的角度来考虑,假设有一个点以 1 rad/s 沿单位圆(x2+y2=1x2+y2=1x^2+y^2=1)做圆周运动,坐标为 (cost,sint)(cos?t,sin?t) (\cos{t},\sin{t}) .


那么,正弦就是这个运动在 y 轴上的投影,余弦就是在 x 轴上的投影。


x 轴和 y 轴只不过是过原点的有向直线中的两条罢了。


过原点还有无数条有向直线。


因为圆是完美对称的,所以这些直线其实没有高低贵贱之分。


如果把这个点投影到每条直线上,


那么每一个投影,都是圆周运动的投影,都是简谐运动。


这些运动也没有高低贵贱之分。


只不过初相位不同罢了。


x 轴和 y 轴当然也不例外。


然后我们再回来看辅助角公式。


Acost+Bsint=√<span class="mjx-char MJXc-TeX-math-I" style="padding-top: 0.491em; pad

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