简单的神经网络

一、softmax的基本概念

我们之前学过sigmoid、relu、tanh等等激活函数，今天我们来看一下softmax。

先简单回顾一些其他激活函数：

1. Sigmoid激活函数：Sigmoid函数（也称为Logistic函数）是一种常见的激活函数，它将输入映射到0到1之间。它常用于二分类问题中，特别是在输出层以概率形式表示结果时。Sigmoid函数的优点是输出值限定在0到1之间，相当于对每个神经元的输出进行了归一化处理。
2. Tanh激活函数：Tanh函数（双曲正切函数）将输入映射到-1到1之间。与Sigmoid函数相比，Tanh函数的中心点在零值附近，这意味着它的输出是以0为中心的。这种特性可以在某些情况下提供更好的性能。
3. ReLU激活函数：ReLU（Rectified Linear Unit）函数是当前非常流行的一个激活函数，其表达式为f(x)=max(0, x)。ReLU函数的优点是计算简单，能够在正向传播过程中加速计算。此外，ReLU函数在正值区间内梯度为常数，有助于缓解梯度消失问题。但它的缺点是在负值区间内梯度为零，这可能导致某些神经元永远不会被激活，即“死亡ReLU”问题。

Softmax函数是一种在机器学习中广泛使用的函数，尤其是在处理多分类问题时。它的主要作用是将一组未归一化的分数转换成一个概率分布。Softmax函数的一个重要性质是其输出的总和等于1，这符合概率分布的定义。这意味着它可以将一组原始分数转换为概率空间，使得每个类别都有一个明确的概率值。

• 二分类问题选择sigmoid激活函数

• 多分类问题选择softmax激活函数

二、交叉熵损失函数

交叉熵损失函数的公式可以分为二分类和多分类两种情况。对于二分类问题，假设我们只考虑正类（标签为1）和负类（标签为0）在多分类问题中，交叉熵损失函数可以扩展为−∑𝑖=1𝐾𝑦𝑖⋅log⁡(𝑝𝑖)−∑i=1Kyi⋅log(pi)，其中𝐾K是类别的总数，( y_i )是样本属于第𝑖i个类别的真实概率（通常用one-hot编码表示），而𝑝𝑖pi是模型预测该样本属于第( i )个类别的概率。

import torch
from torch import nn
 
# 确定随机数种子
torch.manual_seed(7)
# 自定义数据集
X = torch.rand((7, 2, 2))
target = torch.randint(0, 2, (7,))

定义网络结构

• 一层全连接层 + Softmax层
• x1𝑥1,x2𝑥2,x3𝑥3,x4𝑥4为 X
• o1𝑜1,o2𝑜2,o3𝑜3为 target

class LinearNet(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(LinearNet, self).__init__()
        # 定义一层全连接层
        self.dense = nn.Linear(4, 3)
        # 定义Softmax
        self.softmax = nn.Softmax(dim=1)
 
    def forward(self, x):
        y = self.dense(x.view((-1, 4)))
        y = self.softmax(y)
        return y
 
net = LinearNet()

• nn.Softmax(dim=1)用于计算输入张量在指定维度上的softmax激活。dim=1表示沿着第二个维度（即列）进行softmax操作。

定义损失函数和优化函数

• torch.nn.CrossEntropyLoss(weight=None, size_average=None, ignore_index=-100, reduce=None, reduction='mean')
• 衡量模型输出与真实标签的差异，在分类时相当有用。
• 结合了nn.LogSoftmax()和nn.NLLLoss()两个函数，进行交叉熵计算。

loss = nn.CrossEntropyLoss()  # 交叉熵损失函数
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)  # 随机梯度下降法

训练模型

for epoch in range(70):
    train_l = 0.0
    y_hat = net(X)
    l = loss(y_hat, target).sum()
 
    # 梯度清零
    optimizer.zero_grad()
    # 自动求导梯度
    l.backward()
    # 利用优化函数调整所有权重参数
    optimizer.step()
 
    train_l += l
    print('epoch %d, loss %.4f' % (epoch + 1, train_l))

三、自动微分模块

torch.autograd.backward(tensors, grad_tensors=None, retain_graph=None, create_graph=False)  ：自动求取梯度

• grad_tensors：多梯度权重
• create_graph：创建导数计算图，用于高阶求导
• retain_graph：保存计算图
• tensors：用于求导的张量，如 loss

w = torch.tensor([1.], requires_grad=True)
x = torch.tensor([2.], requires_grad=True)
 
a = torch.add(w, x)
b = torch.add(w, 1)
y = torch.mul(a, b)
 
y.backward(retain_graph=True)

注意点：

1. 梯度不自动清零
2. 依赖于叶子节点的节点，requires_grad默认为True
3. 叶子节点不可执行in-place

神经网络全连接层： 每个神经元都与前一层的所有神经元相连接。全连接层通常用于网络的最后几层，它将之前层（如卷积层和池化层）提取的特征进行整合，以映射到样本标记空间，即最终的分类或回归结果。

关于loss.backward()方法：

主要作用就是计算损失函数对模型参数的梯度，loss.backward()实现了反向传播算法，它通过链式法则计算每个模型参数相对于最终损失的梯度。这个过程从输出层开始，向后传递到输入层，逐层计算梯度。

过程：得到每个参数相对于损失函数的梯度，这些梯度信息会存储在对应张量的.grad属性中。loss.backward本身不负责更细权重，但它为权重更新提供了梯度值，方便配合optimizer.step()来更新参数。

前向传播过程中，数据从输入层流向输出层，并生成预测结果；而在反向传播过程中，误差（即预测值与真实值之间的差距，也就是损失函数的值）会从输出层向输入层传播，逐层计算出每个参数相对于损失函数的梯度。这些梯度指示了如何调整每一层中的权重和偏置，以最小化损失函数。

• 损失函数衡量了当前模型预测与真实情况之间的不一致程度，而梯度则提供了损失函数减少最快的方向。

建立一个简单的全连接层：

import torch
import torch.nn as nn
 
# 定义一个简单的全连接层模型
class SimpleFC(nn.Module):
    def __init__(self, input_size, output_size):
        super(SimpleFC, self).__init__()
        self.fc = nn.Linear(input_size, output_size)
 
    def forward(self, x):  
        return self.fc(x)
 
# 创建输入数据和目标输出
input_data = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0]])
target_output = torch.tensor([[4.0, 5.0]])
 
# 实例化模型、损失函数和优化器
model = SimpleFC(input_size=3, output_size=2)
criterion = nn.MSELoss()
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)
 
# 前向传播
output = model(input_data)
 
# 计算损失
loss = criterion(output, target_output)
 
# 反向传播
loss.backward()
 
# 更新参数
optimizer.step()

当调用loss.backward()时，PyTorch会自动计算损失值关于模型参数的梯度，并将这些梯度存储在模型参数的.grad属性中。然后优化器（torch.optim.SGD）可以使用这些梯度来更新模型参数，以最小化损失函数。