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在本篇文章中，我们将详细解读力扣第 131 题“分割回文串”。该问题在字符串处理和动态规划中非常常见，通过学习本篇文章，读者将掌握高效解决此类问题的技巧。
问题描述
力扣第 131 题“分割回文串”描述如下：
给你一个字符串
s，请你将s分割成一些子串，使每个子串都是回文串。返回s所有可能的分割方案。
示例 1:
输入: "aab" 输出: [["a","a","b"],["aa","b"]]
示例 2:
输入: "a" 输出: [["a"]]
解题思路
- 初步分析：
- 我们需要将字符串
s分割成一些子串，使每个子串都是回文串。 - 回文串是指正读和反读都相同的字符串。
- 递归+回溯法：
- 我们可以用递归+回溯的方法来解决这个问题。
- 从字符串的第一个字符开始，逐个尝试分割，如果前面的部分是回文，则继续分割剩下的部分。
- 通过回溯来记录每次分割的结果。
- 动态规划法：
- 我们还可以用动态规划来优化判断回文的过程。
- 预先计算并存储所有子串是否为回文串，避免重复判断。
解法一：递归+回溯法
- 步骤：
- 从字符串的第一个字符开始，逐个尝试分割。
- 每次分割后，判断前面的部分是否为回文。
- 如果是回文，则递归处理剩下的部分。
- 通过回溯来记录每次分割的结果。
- 伪代码：
def backtrack(start, path): if start == len(s): result.append(path) return for end in range(start, len(s)): if is_palindrome(s, start, end): backtrack(end + 1, path + [s[start:end + 1]])
代码实现
解法一：递归+回溯法
def partition(s): def is_palindrome(sub_s): return sub_s == sub_s[::-1] def backtrack(start, path): if start == len(s): result.append(path[:]) return for end in range(start, len(s)): if is_palindrome(s[start:end + 1]): backtrack(end + 1, path + [s[start:end + 1]]) result = [] backtrack(0, []) return result
复杂度分析
- 时间复杂度：O(N * 2^N)，其中 N 是字符串的长度。每个字符都有分割和不分割两种选择。
- 空间复杂度：O(N)，用于递归调用的栈空间。
代码优化
解法二：动态规划法
- 步骤：
- 预先计算并存储所有子串是否为回文串。
- 使用动态规划表
dp，其中dp[i][j]表示字符串s的子串s[i:j+1]是否为回文。 - 使用回溯法来找到所有分割方案。
- 伪代码：
def partition(s): dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))] for right in range(len(s)): for left in range(right + 1): if s[left] == s[right] and (right - left <= 2 or dp[left + 1][right - 1]): dp[left][right] = True def backtrack(start, path): if start == len(s): result.append(path[:]) return for end in range(start, len(s)): if dp[start][end]: backtrack(end + 1, path + [s[start:end + 1]])
代码实现
解法二：动态规划法
def partition(s): n = len(s) dp = [[False] * n for _ in range(n)] # 填充动态规划表 for right in range(n): for left in range(right + 1): if s[left] == s[right] and (right - left <= 2 or dp[left + 1][right - 1]): dp[left][right] = True def backtrack(start, path): if start == n: result.append(path[:]) return for end in range(start, n): if dp[start][end]: backtrack(end + 1, path + [s[start:end + 1]]) result = [] backtrack(0, []) return result
复杂度分析
- 时间复杂度：O(N^2) 计算动态规划表需要 O(N^2) 的时间，回溯的时间复杂度在最坏情况下仍为 O(N * 2^N)。
- 空间复杂度：O(N^2) 用于存储动态规划表。
测试案例
def test_partition(): assert partition("aab") == [["a","a","b"], ["aa","b"]] assert partition("a") == [["a"]] assert partition("racecar") == [["r","a","c","e","c","a","r"], ["r","aceca","r"], ["racecar"]] assert partition("aaa") == [["a","a","a"], ["a","aa"], ["aa","a"], ["aaa"]] test_partition()
总结
本文详细解读了力扣第 131 题“分割回文串”，通过递归+回溯法和动态规划法两种不同的解法，帮助读者深入理解算法问题的解决思路。希望读者通过本文的学习，能够在力扣刷题的过程中更加得心应手。
参考资料
- 《算法导论》—— Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein
- 力扣官方题解
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