斐波那契公约数
题目描述
运行代码
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; const long long mod = 1000000007;// 矩阵乘法函数 vector<vector<long long>> matrixMultiply(const vector<vector<long long>>& A, const vector<vector<long long>>& B) { int n = A.size(); vector<vector<long long>> C(n, vector<long long>(n, 0)); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { for (int k = 0; k < n; ++k) { C[i][j] = (C[i][j] + (A[i][k] * B[k][j]) % mod) % mod; } } } return C; } // 矩阵快速幂 vector<vector<long long>> matrixPower(vector<vector<long long>> base, long long exp) { int n = base.size(); vector<vector<long long>> res(n, vector<long long>(n, 0)); for (int i = 0; i < n; ++i) res[i][i] = 1; while (exp > 0) { if (exp % 2 == 1) { res = matrixMultiply(res, base); } base = matrixMultiply(base, base); exp /= 2; } return res; } // 计算斐波那契数列第n项 long long fibonacci(long long n) { if (n <= 1) return n; vector<vector<long long>> F = {{1, 1}, {1, 0}}; F = matrixPower(F, n - 1); return F[0][0]; } int main() { int n; while(cin>>n){ cout<<fibonacci(n) << endl; } return 0; }
注意点：代码为AI改进后代码
自己写的代码数据范围不足
代码思路
1. 引入头文件和命名空间
#include <iostream> #include <vector> using namespace std;
#include <iostream>用于标准输入输出操作，如cout。#include <vector>引入向量容器，用于存储矩阵。using namespace std;允许直接使用标准库中的名字，而无需加std::前缀。
2. 定义常量和类型
定义模数mod为1,000,000,007，用于取余运算，防止大整数溢出。
3. 矩阵乘法函数
vector<vector<long long>> matrixMultiply(const vector<vector<long long>>& A, const vector<vector<long long>>& B) {...}
这个函数接收两个二维矩阵作为参数，返回它们的乘积矩阵。计算过程中每个元素都是两矩阵对应元素乘积的累加和，并对mod取余，确保结果不会溢出。
4. 矩阵快速幂函数
vector<vector<long long>> matrixPower(vector<vector<long long>> base, long long exp) {...}
这个函数实现了矩阵的快速幂算法，用于高效计算矩阵的高次幂。它递归地将指数减半并平方矩阵，直到指数降为1或0，然后通过矩阵乘法累积结果。这种方法大大减少了计算量，尤其是在处理大指数时。
5. 斐波那契数列计算函数
long long fibonacci(long long n) {...}
此函数计算斐波那契数列的第n项。它首先判断n是否小于等于1，如果是，则直接返回n（因为F(0)=0, F(1)=1）。否则，它使用一个表示斐波那契数列生成规则的矩阵[[1,1],[1,0]]，通过调用matrixPower函数计算该矩阵的(n-1)次幂，最终结果即为斐波那契数列的第n项。
6. 主函数
int main() { int n; while(cin>>n){ cout<<fibonacci(n) << endl; }
主函数初始化输入多组数据n;调用fibonacci(n)函数计算结果，并将计算结果（已对1,000,000,007取模）输出到控制台。
整个程序利用了矩阵快速幂的高效性来解决大数下的斐波那契数列计算问题，非常适合处理此类大规模的计算需求。
矩阵乘法函数
定义
矩阵乘法是一种基本的数学运算，它将两个矩阵相乘以产生一个新的矩阵。这个运算广泛应用于许多领域，包括计算机科学、工程、物理和统计学等，尤其是在处理线性变换、解决线性方程组、表示图形变换和在机器学习中的权重计算等方面。
从更抽象的角度看，矩阵乘法可以视为线性变换的复合。如果将矩阵视为线性空间中的线性变换，那么两个矩阵的乘积表示先进行一个变换（由第一个矩阵定义），然后再进行另一个变换（由第二个矩阵定义）。例如，在计算机图形学中，一个矩阵可能代表旋转，另一个矩阵可能代表平移，它们的乘积则代表先旋转后平移的整个变换过程。
总结起来，矩阵乘法不仅是一个数值运算，它还深刻地体现了线性代数的核心思想——线性变换的组合，这一特性使其成为描述复杂系统和解决多种数学问题的强大工具。
代码运用
用于计算两个矩阵的乘积，并且在计算过程中对结果取模以防止整数溢出：
#include <vector> using namespace std; // 矩阵乘法函数 vector<vector<long long>> matrixMultiply(const vector<vector<long long>>& A, const vector<vector<long long>>& B) { int n = A.size(); // 假设A和B都是n x n的方阵 vector<vector<long long>> C(n, vector<long long>(n, 0)); // 初始化结果矩阵C为n x n的零矩阵 for (int i = 0; i < n; ++i) { // 遍历C的行 for (int j = 0; j < n; ++j) { // 遍历C的列 for (int k = 0; k < n; ++k) { // 对应元素相乘累加，并对mod取余 C[i][j] = (C[i][j] + (A[i][k] * B[k][j]) % mod) % mod; // 注意：这里先进行乘法，然后对结果取模，以避免溢出 } } } return C; // 返回乘积矩阵C }
函数matrixMultiply接收两个二维向量（代表矩阵A和B），每个向量包含n个长度为n的向量（代表n x n的矩阵）。函数计算矩阵A和B的乘积矩阵C，并确保所有中间结果和最终结果都进行了取模操作，以适配大整数计算的需要，特别是在进行大量计算时，比如计算斐波那契数列的大项值。
矩阵快速幂函数
定义
矩阵快速幂是一种高效算法，用于计算矩阵的高次幂。在许多问题中，如计算斐波那契数列的某一项、处理线性递推关系等，都需要计算某个矩阵的高次幂。直接进行多次矩阵乘法会非常低效，尤其是当指数很大时。矩阵快速幂借鉴了快速幂算法的思想，通过分治策略将指数逐步减半，利用矩阵乘法的结合律减少计算量，达到在对数时间内完成计算的目的。
代码运用
#include <vector> using namespace std; // 矩阵快速幂函数 vector<vector<long long>> matrixPower(vector<vector<long long>> base, long long exp) { int n = base.size(); // 假设base是n x n的方阵 vector<vector<long long>> res(n, vector<long long>(n, 0)); // 初始化单位矩阵I for (int i = 0; i < n; ++i) res[i][i] = 1; // 单位矩阵的定义 while (exp > 0) { if (exp % 2 == 1) { // 如果当前指数为奇数 res = matrixMultiply(res, base); // 将res乘以base } base = matrixMultiply(base, base); // 将base平方 exp /= 2; // 指数减半 } return res; // 返回base的exp次幂 }
这段代码中的matrixPower函数接收一个初始矩阵base（假设为n x n的方阵）和一个整数exp作为参数，计算并返回base的exp次幂（所有计算都在模mod的意义下进行，尽管此处未显式展示模运算步骤，但前面提到的matrixMultiply函数中已经包含了对结果的取模处理）。算法的核心思想是不断将指数exp除以2，同时将矩阵base自乘，直到指数降为0。当当前指数为奇数时，才将当前的矩阵结果与原矩阵相乘。这样，通过不断平方和条件性乘法，最终得到所需次幂的矩阵结果。
