本文介绍高等数学中的函数求导
求一个函数的导数,即求出该函数的导数表达式,是微积分中的一个基本问题。不同类型的函数有不同的求导规则,以下是一些常见的求导规则:
1. 常数规则:
(c)′=0
其中,(c) 是常数。
2. 幂函数规则:
(xn)′=n⋅xn−1
其中,(n) 是常数。
3. 求和规则:
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)
4. 乘积规则:
(f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)
5. 商规则:
(f(x)g(x))′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)g(x)2
6. 复合函数规则(链式法则):
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)
其中,(f(x)) 和 (g(x)) 是关于 (x) 的函数,而 (f'(x)) 表示函数 (f(x)) 的导数。
这些规则是求导的基本规则,可以用来求解大部分常见函数的导数。对于更复杂的函数,可能需要使用更高级的微积分技巧,如隐函数求导、参数方程求导等。
7. 指数函数规则 :
ax的导数规则如下:
如果(y=ax)(其中,(a) 是常数且不等于1),那么 (y) 对 (x) 的导数为:
(y)′=dydx=ax⋅ln(a)
其中,(ln(a)) 表示 (a) 的自然对数,即以 (e) 为底的对数。这个规则适用于任何以常数为底的指数函数。特别地,当 (a = e)(自然对数的底)时,导数公式简化为:
y=ex
(y)′=dydx=ex⋅ln(e)=ex
这意味着(ex)的导数是它自身,这也是为什么(ex)出现在许多数学和科学应用中的原因。
y=e−x
(y)′=(e−x)′=1ex=(1)′⋅ex−1⋅ex(ex)2=−1⋅exe2x=−ex−2x=−e−x
8. 三角函数规则 :
1.正弦函数sin(x)的导数
ddx(sin(x))=cos(x)
2.余弦函数cos(x)的导数
ddx(cos(x))=−sin(x)
3.正切函数tan(x)的导数
ddx(tan(x))=−sec2(x)
4.反正弦函数arcsin(x)的导数
ddx(arcsin(x))=1√1−x2
5.反余弦函数arccons(x)的导数
ddx(arccons(x))=−1√1+x2
6.反正切函数arctan(x)的导数
ddx(arctan(x))=11+x2